Eksponentfunktsioon

Eksponentfunktsioon on funktsioon kujul

$\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{p}(z)=e^z,$

kus e on Euleri arv. Eksponentfunktsioon on naturaallogaritmi pöördfunktsioon.

Eksponentfunktsiooniks nimetatakse üldisemalt ka funktsiooni

$c{a}^z,$

kus a on positiivne konstant ja c on nullist erinev kordaja.

Omadused

Olgu z ja w kompleksarvud

• $e^{z+w}=e^z{e}^w,$
• $e^0=1,$
• $e^z\ne 0,$
• $\frac{d}{dz}{e}^z=e^z,$
• $(e^z{)}^n=e^{nz},n\in \mathbb{Z}.$

Juhul, kui z ja w on reaalarvud, kehtib

• $(e^z{)}^w=e^{zw}.$

Formaalne definitsioon

Eksponentfunktsiooni saab tervel komplekstasandil defineerida astmereana

$e^z=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^n}{n!}.$

Seda astmerida nimetatakse eksponentreaks. Seda rida saab kasutada eksponentfunktsiooni üldistamiseks juhule, kus z on ruutmaatriks või üldisemalt mõni Banachi algebra element.

Samaväärselt võib eksponentfunktsiooni defineerida

• piirväärtusena

$e^x=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{x}{n})}^n.$

• integraalvõrrandi

$x=\underset{1}{\overset{y}{\int }}\frac{dt}{t}.$

lahendina

• või diferentsiaalvõrrandi

$\frac{d}{dx}y(x)=y(x),y(0)=1$

lahendina.

Seos trigonomeetriliste funktsioonidega

Euleri valem

$e^{ix}=\cos (x)+i\sin (x),$

seob eksponentfunktsiooni trigonomeetriliste funktsioonidega.

Vaata ka

• Astendaja ehk eksponent
• Hüperboolsed funktsioonid
• Astmefunktsioon