Astmerida

Astmereaks nimetatakse funktsionaalrida kujul

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{(x-c)}^n=a_0+a_1(x-c{)}^1+a_2(x-c{)}^2+a_3(x-c{)}^3+\cdots$

kus c on konstant, a_n on n-nda liikme kordaja ning x muutuja.

Astmeread ilmuvad loomulikul moel kui funktsioonide Taylori read. Tihti valitakse c = 0, näiteks Maclaurini ridade juhul. Sel juhul võtavad astmered mõnevõrra lihtsama kuju

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+a_3{x}^3+\cdots .$

Näiteid

Geomeetriline rida on astmerida kujul

$\frac{1}{1-x}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{x}^n=1+x+x^2+x^3+\cdots ,$

See rida koondub, kui |x|<1.

Eksponentrida on eksponentfunktsiooni Taylori rida

$e^x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots ,$

See rida koondub tervel komplekstasandil.

Siinuse Taylori rida on

$\sin (x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{x}^{2n+1}}{(2n+1)!}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots ,$

See rida koondub tervel komplekstasandil.

Kõik ülaltoodud näited on ühtlasi näited Maclaurini ridadest.

Vaata ka

• Koonduvusraadius
• Laurent'i rida