Piirväärtus

Funktsiooni $f(x)$ piirväärtuseks kohal $a$ nimetatakse arvu $A$, kui suvalise arvu ε > 0 korral leidub selline arv δ > 0, et iga $x\in X$ korral kehtib võrratus

$|f(x)-A|<\epsilon$ alati kui $0<|x-a|<\delta ,$

kus

• δ on punkti $a$ ümbrus ehk suvaline vahemik, millesse punkt $a$ kuulub ( $x$ kuulub $a$ ümbrusse raadiusega δ);
• ε on funktsiooni $f(x)$ vastava väärtuse ümbrus ( $f(x)$ kuulub $A$ ümbrusse raadiusega ε).

Seda, et arv $A$ on funktsiooni piirväärtus protsessis $x\to a$, märgitakse nii:

$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=A.$

Definitsiooni järgi on arv $A$ funktsiooni $f$ piirväärtus kohal $a$ parajasti siis, kui andes ette kuitahes väikese positiivse arvu ε, saab alati valida punkti $a$ ümbruse ($a$ - δ, $a$ + δ) nii, et funktsiooni $f$ väärtused rahuldavad tingimust

$f(x)\in (A-\epsilon ,A+\epsilon )\mathrm{\forall }x\in (a-\delta ,a+\delta )\mathrm{\setminus }\{a\}.$

Funktsiooni piirväärtus ei näita funktsiooni väärtust vaadeldaval kohal, ta iseloomustab vaid funktsiooni väärtusi vaadeldava koha ümbruses.

Näited

$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2-4}{x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }(x+2)=4.$

$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{5x^3-1}{3x^3+x}=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x^3(5-\frac{1}{x^3})}{x^3(3+\frac{1}{x^2})}=\frac{5}{3}.$

Vaata ka

• Funktsioon
• Tuletis
• Jada piirväärtus