Transponeeritud maatriks

Mall:ToimetaAeg Lineaaralgebras nimetatakse maatriksi A transponeeritud maatriksiks A^T (või A^tr, ^tA või A′) maatriksit, mis saadakse A ridade ja veergude vahetamisel. Maatriksi asendamist selle maatriksi transponeeritud maatriksiga nimetatakse transponeerimiseks.

Näited

• ${\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 4\end{array}\right]$

• ${\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\\ 5& 6\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 5\\ 2& 4& 6\end{array}\right]$

Definitsioon

m×n-maatriksi A transponeeritud maatriks A^T on n×m-maatriks

$A_{ij}^{\mathrm{T}}=A_{ji}$, kus $1\le i\le n,$ $1\le j\le m.$

Omadused

Olgu A ja B maatriksid ning c on skalaar, siis kehtib

1. ${\left(A^{\mathrm{T}}\right)}^{\mathrm{T}}=A$

   Transponeerimine on iseenda pöördteisendus.

2. $(A+B{)}^{\mathrm{T}}=A^{\mathrm{T}}+B^{\mathrm{T}}$
3. $(cA{)}^{\mathrm{T}}=c{A}^{\mathrm{T}}$

   Koos punktiga (2) tähendab see, et transponeerimine on lineaarne operaator m×n-maatriksite ruumist n×m-maatriksite ruumi.

4. ${\left(AB\right)}^{\mathrm{T}}=B^{\mathrm{T}}{A}^{\mathrm{T}}$

   Paneme tähele, et tegurite järjekord muutus vastupidiseks. Sellest võib järeldada, et ruutmaatriks A on pööratav parajasti siis, kui A^T on pööratav, kusjuures sel juhul kehtib (5). Matemaatilise induktsiooni teel saab näidata, et (ABC...XYZ)^T = Z^TY^TX^T...C^TB^TA^T.

5. $(A^{\mathrm{T}}{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^{\mathrm{T}}$

   pöördelemendi võtmise ja transponeerimise tehe kommuteeruvad

6. $\det (A^{\mathrm{T}})=\det (A)$

   Transponeerimine maatriksi determinant ei muuda.

7. Kui on A reaalarvuliste elementidega maatriks, siis A^TA on positiivne osaliselt määratud maatriks.
8. Kui maatriksi A elemendid on korpuse elemendid, siis A ja A^T on sarnased maatriksid.
9. Veeruvektorite a ja b skalaarkorrutis avaldub kui

   $𝐚\cdot 𝐛={𝐚}^{\mathrm{T}}𝐛,$

Tõestus
1. $(A^{\mathrm{T}}{)}_{ij}^{\mathrm{T}}=A_{ji}^{\mathrm{T}}=A_{ij}$
2. $(A^{\mathrm{T}}+B^{\mathrm{T}}{)}_{ij}=A_{ij}^{\mathrm{T}}+B_{ij}^{\mathrm{T}}=A_{ji}+B_{ji}=(A+B{)}_{ji}=(A+B{)}_{ij}^{\mathrm{T}}$
3. $(cA{)}_{ij}^{\mathrm{T}}=c{A}_{ji}=c{A}_{ij}^{\mathrm{T}}$
4. ${\left(AB\right)}_{ij}^{\mathrm{T}}={\left(AB\right)}_{ji}=\sum _k{A}_{jk}{B}_{ki}=\sum _k{B}_{ki}{A}_{jk}=\sum _k{B}_{ik}^{\mathrm{T}}{A}_{kj}^{\mathrm{T}}=(B^{\mathrm{T}}{A}^{\mathrm{T}}{)}_{ij}$

Transponeerimise kaudu defineeritavaid maatriksitüüpe

• Sümmeetrilised maatriksid : A^T = A
• Kaldsümmeetrilised maatriksid : A^T = -A
• Ortogonaalsed maatriksid : A^T = A⁻¹

Vaata ka

• Ruutmaatriks
• Skalaar
• Determinant
• Ühikmaatriks
• XOR vahetus algoritm

Välislingid

• MIT Video: Loeng maatriksite transponeerimise kohta Google'i videotes