Plokkmaatriks

Maatriksite teoorias (matemaatika harus) nimetatakse plokkmaatriksiks maatriksit, mille elementideks on omakorda maatriksid. Viimaseid nimetatakse plokkideks. Iga maatriksit saab käsitleda plokkmaatriksina, mis koosneb ühest plokist.

Näide

Maatriksi

$A=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 2& 2\\ 1& 1& 2& 2\\ 3& 3& 4& 4\\ 3& 3& 4& 4\end{array}\right)$

saab jaotada neljaks 2×2 plokiks

$A_{11}=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right),A_{12}=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 2& 2\end{array}\right),A_{21}=\left(\begin{array}{cc}3& 3\\ 3& 3\end{array}\right),A_{22}=\left(\begin{array}{cc}4& 4\\ 4& 4\end{array}\right).$

Maatriksi A saab nüüd plokkmaatriksina ümber kirjutada:

$A=\left(\begin{array}{cc}{A}_{11}& A_{12}\\ A_{21}& A_{22}\end{array}\right).$

Definitsioon

Olgu iga $i=1,...,k$, $j=1,...,l$ jaoks antud m_i × n_j-maatriks $A_{ij}$ ($m_i$ ja $n_j$ on naturaalarvud, mis sõltuvad vastavalt $i$-st ja $j$-st). Plokkmaatriksiks nimetatakse maatriksit $A=(A_{ij})$; maatrikseid $A_{ij}$ nimetatakse maatriksi $A$ plokkideks.

Plokkmaatriksite korrutamine

Plokkmaatriksite korrutamist saab teostada plokkide kaudu. Olgu antud m × k-maatriks $A$, mille ridades on q plokki ja veergudes p plokki

$A=\left(\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{12}& \cdots & A_{1s}\\ A_{21}& A_{22}& \cdots & A_{2s}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ A_{q1}& A_{q2}& \cdots & A_{qs}\end{array}\right)$,

ning k × n-maatriks $B$, mille read on jaotatud q ja veerud p plokiks

$B=\left(\begin{array}{cccc}{B}_{11}& B_{12}& \cdots & B_{1r}\\ B_{21}& B_{22}& \cdots & B_{2r}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ B_{s1}& B_{s2}& \cdots & B_{sr}\end{array}\right)$,

siis maatrikskorrutise

$C=AB$

saab leida plokkhaaval, kusjuures $C$ on m × n-maatriks, mille ridades on q plokki ja veergudes p plokki. Maatriksi $C$ plokid on

$C_{\alpha \beta }=\sum _{\gamma =1}^s{A}_{\alpha \gamma }{B}_{\gamma \beta }.$

Plokk-diagonaalsed maatriksid

Plokk-diagonaalne maatriks ehk kast-diagonaalmaatriks on ruutmaatriks, mille peadiagonaali elementideks on ruutmaatriksid (plokid) nii, et kõik ülejäänud elemendid on nullid. Plokk-diagonaalse maatriksi üldine kuju on

$A=\left(\begin{array}{cccc}{A}_1& 0& \cdots & 0\\ 0& A_2& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & A_n\end{array}\right)$,

kus iga $A_i$ on ruutmaatriks; teisisõnu on see maatriksite $A_1$, ... , $A_n$ otsesumma, mida võib tähistada, kui $A_1\oplus A_2\oplus ...\oplus A_n$ või sarnaselt diagonaalsete maatriksitega $\mathrm{diag}(A_1,A_2,...,A_n)$. Iga ruutmaatriksit võib käsitleda kui ühest plokist koosnevat diagonaalset plokkmaatriksit.

Plokk-diagonaalse maatriksi determinandi ja jälje jaoks kehtib

$\det A=\det A_1\cdots \det A_n$,

$\mathrm{tr}A=\mathrm{tr}{A}_1+\cdots +\mathrm{tr}{A}_n$.

Plokk-kolmnurkmaatriksid

Plokk-kolmnurkmaatriksid on kolmnurkmaatriksid, mille elementideks on plokid (ehk maatriksid). Analoogselt kolmnurkmaatriksitega saab rääkida ülemistest ja alumistest plokk-kolmnurkmaatriksitest.

Otsesumma

Iga maatriksi $A$ (m × n-järku) ja $B$ (p × q-järku), saab konstrueerida maatriksite $A$ ja $B$ otsesumma

$A\oplus B=\left(\begin{array}{cc}A& 0\\ 0& B\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1n}& 0& \cdots & 0\\ ⋮& \cdots & ⋮& ⋮& \cdots & ⋮\\ a_{m1}& \cdots & a_{mn}& 0& \cdots & 0\\ 0& \cdots & 0& b_{11}& \cdots & b_{1q}\\ ⋮& \cdots & ⋮& ⋮& \cdots & ⋮\\ 0& \cdots & 0& b_{p1}& \cdots & b_{pq}\end{array}\right).$

Näiteks

$\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 2\\ 2& 3& 1\end{array}\right)\oplus \left(\begin{array}{cc}1& 6\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccccc}1& 3& 2& 0& 0\\ 2& 3& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 6\\ 0& 0& 0& 0& 1\end{array}\right).$

Paneme tähele, et maatriksite vektorruumide otsesumma on väljendatav maatriksite otsesummana.