Jälg (lineaaralgebra)

Ruutmaatriksi jälg on selle maatriksi peadiagonaali elementide summa:

$\mathrm{t}\mathrm{r}(A)=a_{11}+a_{22}+\dots +a_{nn}=\sum _{i=1}^n{a}_{ii}$,

kus $a_{ij}$ tähistab maatriksi i-ndas reas ja j-ndas veerus asuvat A elementi.

Maatriksi jälg ei sõltu baasi valikust. Seetõttu saab defineerida lineaarteisenduse jälje kui lineaarteisendusele vastava maatriksi jälje. Iga lineaarteisenduse jaoks pole võimalik jälge defineerida.

Omadused

• Jälg on lineaarne teisendus, mis teisendab maatriksi skalaariks:

$\mathrm{tr}(A+B)=\mathrm{tr}(A)+\mathrm{tr}(B)$,

$\mathrm{tr}(cA)=c\mathrm{tr}(A)$,

kus c on skalaar.

• Jälg on invariantne selle argumendi tegurite tsükliliste permutatsioonide suhtes:

$\mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(BA)$

ehk üldiselt

$\mathrm{tr}(A_1{A}_2...A_n)=\mathrm{tr}(A_{k+1}{A}_{k+2}...A_k)$.

• Jälg on invariantne transponeerimise suhtes:

$\mathrm{tr}(A^T)=\mathrm{tr}(A)$

• Jälg on invariantne sarnasusteisenduste suhtes:

$\mathrm{tr}(P^{-1}AP)=\mathrm{tr}((AP)P^{-1})=\mathrm{tr}(A)$

• Viimasest seosest ja sellest, et igal maatriksil on Jordani normaalkuju, tuleneb, et jälg on maatriksi omaväärtuste summa.

$\mathrm{tr}A=\sum {\lambda }_i$,

kus ${\lambda }_i$ on A omaväärtused.

• Seos jälje ja determinandi vahel:

$\det (\exp (A))=\exp (\mathrm{tr}(A))$,

kus exp on eksponentfunktsioon.

• kui A ja B on positiivsed osaliselt määratud maatriksid, siis

$0\le \mathrm{t}\mathrm{r}(AB{)}^n\le \mathrm{t}\mathrm{r}(A{)}^n\mathrm{t}\mathrm{r}(B{)}^n.$.

Vaata ka

• Maatriks
• Determinant