Diferentseeruv funktsioon

(Mingil kohal ehk mingis punktis) diferentseeruv funktsioon on funktsioon, millel on (selles punktis) diferentsiaal. Mingil hulgal diferentseeruv funktsioon on funktsioon, mis on diferentseeruv selle hulga igas punktis.

Diferentseeruva funktsiooni muutu mingil kohal võib kõrgema väiksusjärguga suurusi ignoreerides kujutada argumendi muudu lineaarfunktsioonina. See tähendab, et antud punkti piisavalt väikestes ümbrustes võib funktsiooni asendada lineaarfunktsiooniga (funktsiooni väärtuse muutumise kiirust võib lugeda muutumatuks). Funktsiooni muudu lineaarosa nimetatakse selle diferentsiaaliks (antud punktis).

Diferentseeruvuse tarvilik, kuid mitte piisav tingimus on funktsiooni pidevus. Ühe reaalmuutuja funktsiooni korral on diferentseeruvus samaväärne tuletise olemasoluga. Mitme reaalmuutuja funktsiooni puhul on diferentseeruvuse tarvilik (kuid mitte piisav) tingimus osatuletiste olemasolu; piisav tingimus on see, et osatuletised leiduvad vaadeldava punkti mingis ümbruses ja on selles punktis pidevad.

Kompleksmuutuja funktsiooni puhul nimetatakse diferentseeruvust punktis sageli monogeensuseks ja see erineb oluliselt diferentseeruvuse mõistest reaalmuutuja puhul. Võtmetähtsus on selles Cauchy-Riemanni tingimustel. Punkti ümbruses monogeenset funktsiooni nimetatakse holomorfseks selles punktis.

Funktsionaalanalüüsis üldistatakse diferentseerimise mõiste lõpmatumõõtmeliste ruumide juhtumile: tuletise üldistused on Gâteaux' tuletis ja Fréchet' tuletis.

Diferentseeruva funktsiooni üldistused on subdiferentseeruv funktsioon, superdiferentseeruv funktsioon ja kvaasidiferentseeruv funktsioon.

Ühe reaalmuutuja funktsioon

Funktsiooni graafik (must joon) ja selle puutuja (punane joon)

Funktsioon $f(x)=|x|$ (absoluutväärtus) ja selle tuletis

Weierstrassi funktsiooni graafik lõigul [−2, 2]. See graafik on fraktaalne: suurendus (punases ringis) on sarnane kogu graafikuga

Ühe reaalmuutuja funktsioon $f:M\subset ℝ\mapsto ℝ$ on diferentseeruv oma määramispiirkonna $M$ punktis $x_0$, kui leidub selline konstant $a$, et

$f(x)=f(x_0)+a(x-x_0)+o(x-x_0),x\to x_0,$

sealjuures võrdub arv $a$ vältimatult tuletisega

$a=f^{\prime }(x_0)=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.$

Ühe reaalmuutuja funktsioon on diferentseeruv punktis $x_0$ siis ja ainult siis, kui tal on selles punktis lõplik tuletis.

Funktsiooni $y=f(x)$ graafik on joon tasandil $Oxy$, ja lineaarfunktsiooni

$y=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$

graafik on selle joone puutuja kohal $x_0$.