Diferentsiaal

Funktsiooni $y=f(x)$ diferentsiaaliks kohal x nimetatakse funktsiooni, mis avaldub korrutisena, mille tegurid on funktsiooni tuletis kohal x ja argumendi muut:

$\mathrm{d}y=f^{\prime }(x)\cdot \mathrm{\Delta }x,$ ehk

$\mathrm{d}y=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\mathrm{d}x.$

Diferentsiaali geomeetriline tõlgendus

Geomeetriliselt kujutab funktsiooni diferentsiaal graafiku puutuja ordinaadi muutu.

Kuna $f^{\prime }(x)=\tan \alpha ,$ siis täisnurksest kolmnurgast $PRS$:

$RS=PR\cdot \tan \alpha =f^{\prime }(x)\mathrm{\Delta }x=dy$

Väikese argumendi muudu Δx korral $\mathrm{d}y\approx \mathrm{\Delta }y$.

Täisdiferentsiaal

Mitme muutuja funktsiooni $f$ täisdiferentsiaal avaldub kui summa funktsiooni osatuletiste korrutistest vastavate muutujate diferentsiaalidega. Kahe muutuja funktsiooni $f(x,y)$ puhul avaldub see kui

$$df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy,$$kus $\frac{\partial f}{\partial x}$ ja $\frac{\partial f}{\partial y}$ on osatuletised ja $dx$, $dy$ diferentsiaalid vastavalt muutujate $x$ ja $y$ järgi. Üldistatult $m$ muutujaga funktsiooni $f(x_1,x_2,\dots ,x_m)$ puhul aga avaldub selle täisdiferentsiaal kui

$$df=\frac{\partial f}{\partial x_1}d{x}_1+\frac{\partial f}{\partial x_2}d{x}_2+\dots +\frac{\partial f}{\partial x_m}d{x}_m.$$

Vaata ka

• Funktsiooni muut
• Tuletis
• Diferentsiaalvõrrand
• Abeli diferentsiaal