Osatuletis

Osatuletiseks nimetatakse matemaatilises analüüsis sellist funktsiooni tuletist, mille arvutamisel mingi muutuja $x$ järgi punktis $P_0$ loetakse teised muutujad konstantseks.

Osatuletis on üks matemaatilise analüüsi kõige olulisemaid mõisteid ning seda kasutatakse gradiendi, mitme muutuja funktsiooni täisdiferentsiaali, rootori, divergentsi ja paljude teiste matemaatiliste mõistete defineerimisel. Seetõttu leiab osatuletis olulist kasutust näiteks rakendusmatemaatikas ja füüsikas.

Definitsioon ja tähistus

Olgu antud mitme muutuja funktsioon

$u=f(x,y,z,...),(x,y,z,...)\in 𝔻$

ja olgu punkt $P_0=(x_0,y_0,z_0,...)$ piirkonna $D$ sisepunkt. Fikseerime muutujad $y,z,...$ , võttes $y=y_0,z=z_0,...$ , siis saame ühe muutuja funktsiooni

$g(x)=f(x,y_0,z_0,...).$

Kui funktsioonil $g(x)$ on punktis $x_0$ olemas tuletis $g^{\prime }(x_0)$ , siis seda tuletist nimetatakse funktsiooni $f$ osatuletiseks muutuja $x$ järgi punktis $P_0$ ja tähistatakse sümbolitega

$f_x(P_0)=f_x(x_0,y_0,...)=\frac{\partial f(P_0)}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}f(P_0).$

Funktsiooni $f$ osatuletis muutuja $x$ järgi suvalises punktis $P=(x,y,...)$ on seega piirväärtus (funktsioon)

$f_x(P)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x,y,z...)-f(x,y,z...)}{\mathrm{\Delta }x}.$

Analoogiliselt defineeritakse funktsiooni $f$ osatuletised muutujate $y,z,...$ järgi punktis $P_0$, s.o. osatuletised $f_y(P_0),f_z(P_0),....$

Funktsiooni osatuletisi arvutatakse samade reeglite järgi, millega arvutatakse ühe muutuja funktsiooni tuletisi.

Geomeetriline tähendus

Nii nagu analüütilises käsitluseski, on osatuletiste geomeetrilisel tõlgendusel palju sarnast tavaliste tuletistega. Näiteks kahe muutuja funktsioonid defineerivad kolmemõõtmelises ruumis sageli mingi pinna. See pind koosneb lõpmatust hulgast punktidest ning igas punktis on pinnal lõpmatu arv puutujaid. Osatuletise operaatori rakendamine mingis punktis tähendab sisuliselt ühe sellise puutuja tõusu leidmist.

Näide

Vaatleme kahe muutuja funktsiooni

$z=f(x,y)=x^2+xy+y^2.$

Antud funktsioon defineerib kolmemõõtmelises eukleidilises ruumis paraboloidi.

Funktsiooni $f(x,y)=x^2+xy+y^2$ graafik ning tasand, mis tekib, kui loeme y-koordinaadi konstantseks

Funktsiooni graafiku xz-tasandiga paralleelne puutuja punktis $P_0=(1,1,3)$

Et leida funktsiooni $f(x,y)=x^2+xy+y^2$ xz-tasapinnaga paralleelse puutuja tõus punktis $P_0=(1,1,3)$ , tuleb leida selle funktsiooni osatuletis, lugedes muutuja y konstantseks $(y=1)$. Funktsiooni osatuletis muutuja x järgi on $\frac{\partial z}{\partial x}=2x+y.$ Seega tasandil $y=1$ on funktsiooni $f(x,y)=x^2+xy+y^2$ tõus punktis $P_0=(1,1,3)\frac{\partial z}{\partial x}=3.$

Vaata ka

• Diferentseerimisoperaator
• Tuletis suuna järgi
• Jakobiaan
• Kahe muutuja funktsioon