Poolus (kompleksmuutuja funktsiooniteooria)

Gammafunktsiooni $\mathrm{\Gamma }(z)$ moodul. Vasakul (Re z<0) on funktsioonil poolused, nendes ta läheneb lõpmatusele. Paremal (Re z>0) pooluseid ei ole, funktsioon on kõikjal lõplik

Isoleeritud iseärast punkti $z_0$ nimetatakse funktsiooni $f(z)$ pooluseks, kui selle funktsiooni arenduses Laurenti ritta punkti $z_0$ punkteeritud ümbruses sisaldab negatiivne osa lõpliku arvu nullist erinevaid liikmeid, st

$f(z)=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{f}_k(z-z_0{)}^k=P(z)+f_{-n}(z-z_0{)}^{-n}+\dots +f_{-1}(z-z_0{)}^{-1}$, kus $P(z)$ on positiivne osa.

Kui $f_{-n}\ne 0$, siis $z_0$ nimetatakse $n$-järku pooluseks. Kui $n=1$, siis poolust nimetatakse lihtsaks.

Pooluse määramise kriteeriumid

1. Punkti $z_0$ on poolus siis ja ainult siis, kui $\underset{z\to z_0}{\lim }f(z)=\mathrm{\infty }$.
2. Punkti $z_0$ on $k$-järku poolus siis ja ainult siis, kui $\underset{z\to z_0}{\lim }f(z)(z-z_0{)}^{k-1}=\mathrm{\infty }$, а $\underset{z\to z_0}{\lim }f(z)(z-z_0{)}^k\ne \mathrm{\infty }$.
3. Punkt $z_0$ on $k$-järku poolus siis ja ainult siis, kui ta on funktsiooni $F(z)=\frac{1}{f(z)}$ $k$-järku nullkoht.

Vaata ka

• Kõrvaldatav iseärane punkt
• Oluliselt iseärane punkt