Gammafunktsioon

Reaalarvude gammafunktsiooni graafik

Kompleksarvude gammafunktsioon: heledus vastab funktsiooni väärtuse moodulile, värvus argumendile

Kompleksarvude gammafunktsiooni moodul

Gammafunktsioon ehk Euleri gammafunktsioon ehk teist liiki Euleri integraal $\mathrm{\Gamma }$ on üks erifunktsioon matemaatilises analüüsis ja kompleksmuutuja funktsioonide teoorias. Gammafunktsiooni võib positiivse reaalarvu $x$ jaoks defineerida integraalina

$\mathrm{\Gamma }(x)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{x-1}{\mathrm{e}}^{-t}dt$.

See on transtsendentne analüütiline funktsioon ja rahuldab funktsionaalvõrrandit

$\mathrm{\Gamma }(x+1)=x\cdot \mathrm{\Gamma }(x),$

mida saab näidata ositi integreerimise abil.

Et $\mathrm{\Gamma }(1)=1$, siis järeldub sellest kõigi positiivsete täisarvude $n$ korral

$\mathrm{\Gamma }(n)=1\cdot 2\cdot 3\cdots (n-1)=(n-1)!,$

seega interpoleerib $\mathrm{\Gamma }$ üht faktoriaali rööplüket.

Gammafunktsiooni saab üheselt jätkata meromorfseks funktsiooniks Gaussi tasandile $ℂ$. Seal ei ole tal nullkohti ega mittepositiivsetel täisarvudel lihtsaid poolusi, seega on $1/\mathrm{\Gamma }$ täisfunktsioon.

Gammafunktsioon on aluseks gammajaotuseks nimetatavale tõenäosusjaotusele.

Esituskujud

Funktsiooni $\mathrm{\Gamma }(x)$ otsese definitsiooni kõigi argumentide $x\in ℂ\setminus \{0,-1,-2,\dots \}$ jaoks annab gammafunktsiooni korrutisesitus Gaußi järgi,

$\mathrm{\Gamma }(x)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n!n^x}{x(x+1)(x+2)\cdots (x+n)},$

mille positiivsete reaalarvude jaoks andis juba Euler 1729. Sellest tuletatud on $1/\mathrm{\Gamma }$ esitus Weierstraßi korrutisena:

$1/\mathrm{\Gamma }(x)=x\cdot \prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1+\frac{x}{n}){\mathrm{e}}^{-x\log (\frac{n+1}{n})}=x\cdot {\mathrm{e}}^{\gamma x}\cdot \prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1+\frac{x}{n}){\mathrm{e}}^{-x/n}$

Euleri-Mascheroni konstandiga $\gamma =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }((\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n})-\log n)$. Teist korrutist nimetatakse tavaliselt Weierstraßi esituseks, ent Karl Weierstraß kasutas ainult esimest.

Sissejuhatuses toodud integraalesitus pärineb samuti Eulerilt (1729), ta kehtib üldisemalt positiivse reaalosaga kompleksarvude puhul:

$\mathrm{\Gamma }(x)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{x-1}{\mathrm{e}}^{-t}dt,$     kui    $\text{Re }x>0.$

Euleri integraalesitusel on üks ilus variant juhtumil, kus $x\in ℂ$ ning $0<\mathrm{Re}(x)<1$:

$\mathrm{\Gamma }(x)={\mathrm{e}}^{\pi \cdot \mathrm{i}\cdot x/2}\cdot \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{x-1}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\cdot t}dt.$

Sellest esitusest saab näiteks elegantselt tuletada Fresneli integraalvalemid.

Ernst Eduard Kummer esitas 1847 logaritmilise gammafunktsiooni arenduse Fourier' reaks:

$\log \mathrm{\Gamma }(x)=(\frac{1}{2}-x)(\gamma +\log (2\pi ))+\frac{1}{2}\log \frac{\pi }{\sin (\pi x)}+\frac{1}{\pi }\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{\log k}{k}\sin (2\pi kx)$     für     $0<x<1,$

seda nimetatakse ka Kummeri reaks. Juba 1846 leidis Carl Johan Malmstén sarnase rea:

$\log \frac{\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2}+x)}{\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2}-x)}=-2x(\gamma +\log (2\pi ))+\frac{2}{\pi }\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k\frac{\log k}{k}\sin (2\pi kx)$     für     $-\frac{1}{2}<x<\frac{1}{2}.$

Ajalugu

Gammafunktsiooni varaseimaks definitsiooniks peetakse Daniel Bernoulli kirjas Christian Goldbachile 6. oktoobrist 1729 antud definitsiooni:

$(A+\frac{x}{2}{)}^{x-1}(\frac{2}{1+x}\cdot \frac{3}{2+x}\cdot \frac{4}{3+x}\cdots \frac{A}{A-1+x})$     lõpmata suure A korral on tänapäeva tähistustes $x!$ ehk$\mathrm{\Gamma }(x+1).$

Mõned päevad hiljem, 24./13. oktoobril 1729, kirjeldas Euler ka kirjas Goldbachile seda sarnast, pisut lihtsamat valemit,

$\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdots n}{(1+m)(2+m)\cdots (n+m)}(n+1{)}^m$     läheneb n-i kasvades tänapäeva tähistustes $m!$ ehk $\mathrm{\Gamma }(m+1)$ tõelisele väärtusele,

mille Gauß 1812 taasavastas üldisemal, kompleksarvude juhtumil (nimetatud kirjad avaldati alles 1843). 8. jaanuaril 1730 kirjeldas Euler kirjas Goldbachile järgmist integraali faktoriaali interpoleerimiseks, mille ta oli 28. novembril 1729 ette kandnud Venemaa Teaduste Akadeemiale:

$\int dx(-lx{)}^n,$     tänapäeva tähistustes:     $\mathrm{\Gamma }(n+1)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}(-\log x{)}^{n}dx.$

Seda definitsiooni eelistas Euler hiljem kasutada, ta läheb asendusega $t=-\log x$ üle kujule $\mathrm{\Gamma }(n+1)={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{t}^n{\mathrm{e}}^{-t}dt$.

Euler avastas selle integraali, uurides üht mehaanika probleemi, milles vaadeldakse osakese kiirendust.

Adrien-Marie Legendre võttis 1809 funktsiooni sümbolina kasutusele kreeka suurtähe $\mathrm{\Gamma }$ (gamma). Gauß kasutas 1812 funktsiooni sümbolina tähte $\mathrm{\Pi }$ (pii) nõnda, et $\mathrm{\Pi }(x)=\mathrm{\Gamma }(x+1)$ ning seega ka $\mathrm{\Pi }(n)=n!$ mittenegatiivse täisarvulise n-i korral. See tähistus ei läinud käibele.

Vaata ka

• Digammafunktion
• Meijeri G-funktsion

Kirjandus

• Niels Nielsen: Handbuch der Theorie der Gammafunktion, B. G. Teubner, Leipzig 1906 (Interneti arhiivis, samas, samas)
• E. T. Whittaker, G. N. Watson: The Gamma function, Kapitel 12 in A course of modern analysis, Cambridge University Press, 4. Ausgabe 1927; Neuauflage 1996, ISBN 0-521-58807-3, S. 235–264 (inglise keeles; Interneti arhiivis)
• Emil Artin: Einführung in die Theorie der Gammafunktion (DjVu-fail, 30-sekundiline viivitus, 933 kB), B. G. Teubner, Leipzig 1931; The Gamma function, Holt, Rinehart and Winston, New York 1964 (Michael Butleri tõlge inglise keelde)
• Friedrich Lösch, Fritz Schoblik: Die Fakultät (Gammafunktion) und verwandte Funktionen. Mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendungen. B. G. Teubner, Leipzig 1951
• Philip J. Davis. Leonhard Euler's integral: A historical profile of the gamma function. The American Mathematical Monthly 66, 1959, lk 849–869 (inglise keeles; 1963 Chauvenet' auhind ausgezeichnet; bei MathDL)
• Konrad Königsberger: Die Gammafunktion, Kapitel 17 in Analysis 1. Springer, Berlin 1990; 6. trükk 2003, ISBN 3-540-40371-X, S. 351–360
• Reinhold Remmert: Die Gammafunktion, ptk 2 raamatus: Funktionentheorie 2, Springer, Berlin 1991; koos Georg Schumacheriga: 3. trükk 2007, ISBN 978-3-540-40432-3, lk 31–73
• Eberhard Freitag, Rolf Busam: Die Gammafunktion, ptk 4.1 raamatus: Funktionentheorie 1, Springer, Berlin 1993; 4. trükk 2006, ISBN 3-540-31764-3, lk 194–212