Laplace'i pöördteisendus

Mall:Toimeta Mall:Sisukord paremale Laplace'i pöördteisendus on integraalteisendus, mis teisendab kompleksmuutuja funktsiooni $F(s)$, kus kompleksarv $s=\sigma +j\omega$ (kompleks sagedusdomeen ehk s-domeen), tagasi reaalmuutuja funktsiooniks $f(t)$, kus $t\in [0;\mathrm{\infty }]$ (ajadomeen). Kuna Laplace teisendus on üheselt määratav teisendus, siis on võimalik näidata, et selle pöördteisendus on samuti üheselt määratav:

$f(t)={ℒ}^{-1}\{F(s)\}⟺ℒ\{f(t)\}=F(s)$

Bromwichi integraal

Laplace'i pöördteisenduse leidmiseks on mitmeid võimalusi, kus igaühel on omad eelised, aga kõige laialdasema rakendusega on Bromwichi integral (Mellini inverteeritud integral või Fourier-Mellini integral), mis tuletatakse Fourier' teisenduse juba teadaoleva pöördseose vaatlemisel:

Kujutlus Bromwichi integraalist - Punaste ristidega on tähistatud poolused, telgedel on toodud viimaste reaalarvulised osad ning nooltega on näidatud integreeritav joon.

${ℒ}^{-1}\{F(s)\}=f(t)=\frac{1}{2\pi i}\underset{\sigma -i\omega }{\overset{\sigma +i\omega }{\int }}{e}^{st}F(s)ds,$

kus ${ℒ}^{-1}$ tähistab Laplace'i pöördteisendust ja integreerimine toimub vertikaalsel joonel $\Re (s)=\sigma$ komplekstasandil selliselt, et $\sigma$ väärtus oleks suurem (ehk vasakul) kõikidest $F(s)$ pooluste reaalarvulisest osadest.

Praktikas on Laplace'i pöördteisenduse tegemine tüüpiliselt mugavam, kui esmane $F(s)$ funktsioon teha osadeks vastavalt tabelitest leitavatele esitusvormidele ning pöördteisendus kirjutada lihtsalt ümber tabeli vastete järgi (lookup table).

Omadused

Olgu meil funktsioonid $G(s)$ ja $P(s)$, millel leiduvad vastavad Laplace'i pöördteisendused $g(t)$ ja $p(t)$. Teisenduse

1. Aditiivsus (summa või vahe)

${ℒ}^{-1}\{G(s)\pm P(s)\}={ℒ}^{-1}\{G(s)\}\pm {ℒ}^{-1}\{P(s)\}$

Laplace'i pöördteisendus kahe funktsiooni summast on võrdne nende üksikute funktsioonide Laplace'i pöördteisenduste summaga.

2. Homogeensus (konstandiga korrutamine)

${ℒ}^{-1}\{a\cdot G(s)\}=a\cdot {ℒ}^{-1}\{G(s)\},$

kus $a$ on konstant.

3. Esimene teoreem sageduse nihutamise kohta

${ℒ}^{-1}\{G(s-a)\}=e^{at}G(t)$

4. Teine teoreem sageduse nihutamise kohta

${ℒ}^{-1}\{e^{-sT}G(s)\}=G(t-T)\cdot u(t-T),$

kus $u(t)$ on ühikastme funktsioon.

Kui Laplace' pöördteisenduses esineb $e^{-sT}$ komponent, siis on see võimalik teisenduse lõpus asendada astmefunktsiooniga. Nimelt tehes Laplace' pöördteisenduse selliselt, et ignoreerides $e^{-sT}$ komponenti ja lõpptulemuses $t$ asendada $(t-T)$ ning juurde lisada korrutiseks ühiksastme funktsioon, saamegi korrektse Laplace' pöördteisenduse kogu funktsiooni kohta.

Vaata ka

• Laplace teisendus

Välislingid

• Laplace' pöördteisenduse kalkulaator
• Laplace' pöördteisenduse vastete tabel
• Inverse Laplace transform - Wikipedia