Laplace'i operaator

Laplace'i operaator on matemaatikas kaks korda diferentseeruvatele mitme muutuja funktsioonidele rakendatav diferentsiaaloperaator, mis on eukleidilises ruumis defineeritud kui funktsiooni gradiendi divergents.

Ristkoordinaatides avaldub Laplace'i operaator kujul^[1]

Δ = \nabla^{2} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{\partial^{2}}{\partial x_{i}^{2}},

kus $\nabla$ on nabla-operaator ja $\partial / \partial x_{i}$ tähistab osatuletise võtmise operaatorit muutuja $x_{i}$ järgi.

Laplace'i operaator on saanud nimetuse prantsuse matemaatiku Pierre-Simon de Laplace'i (1749–1827) järgi. Laplace kasutas antud operaatorit esmakordselt taevamehaanikas, kus ta gravitatsioonivälja potentsiaalile rakendatuna annab konstandi kordse massi tiheduse. Selle võrrandi Δf = 0 üldisemat kuju nimetatakse tänapäeval Laplace'i võrrandiks.

Laplace'i operaator eri koordinaadistikes

Kahemõõtmelises ruumis

Laplace'i operaatori rakendamine kahe muutuja funktsioonile f(x,y) annab ristkoordinaatides x ja y'

Δ f = \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}

Polaarkoordinaatides kehtib

Δ f = \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} (r \frac{\partial f}{\partial r}) + \frac{1}{r^{2}} \frac{\partial^{2} f}{\partial θ^{2}} .

Kolmemõõtmelises ruumis

Kolmes dimensioonis on Laplace'i operaatori kuju olulisemates koordinaadisüsteemides järgmine:

Ristkoordinaatides:

Δ f = \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}} .

Silindrilistes koordinaatides:

Δ f = \frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ} (ρ \frac{\partial f}{\partial ρ}) + \frac{1}{ρ^{2}} \frac{\partial^{2} f}{\partial θ^{2}} + \frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}} .

Sfäärilistes koordinaatides:

Δ f = \frac{1}{r^{2}} \frac{\partial}{\partial r} (r^{2} \frac{\partial f}{\partial r}) + \frac{1}{r^{2} \sin θ} \frac{\partial}{\partial θ} (\sin θ \frac{\partial f}{\partial θ}) + \frac{1}{r^{2} \sin^{2} θ} \frac{\partial^{2} f}{\partial ϕ^{2}} .

( $θ$ tähistab sfäärilist laiust ja $ϕ$ sfäärilist pikkust).

Avaldise $\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial}{\partial r} (r^{2} \frac{\partial f}{\partial r})$ võib asendada samaväärse avaldisega $\frac{1}{r} \frac{\partial^{2}}{\partial r^{2}} (r f)$ .

N dimensioonis

N-dimensionaalsetes sfäärilistes koordinaatides, mis on parametriseeritud kujul $x = r θ \in ℝ^{N}$ , kus $r \in [0, + \infty)$ , $θ \in S^{N - 1}$ , on Lapalace'i operaatoril kuju

Δ f = \frac{\partial^{2} f}{\partial r^{2}} + \frac{N - 1}{r} \frac{\partial f}{\partial r} + \frac{1}{r^{2}} Δ_{S^{N - 1}} f

kus $Δ_{S^{N - 1}}$ on Laplace'i-Beltrami operaator $N - 1$ dimensionaalsel sfääril ehk sfääriline Laplace'i operaator.

Avaldise $\frac{\partial^{2} f}{\partial r^{2}} + \frac{N - 1}{r} \frac{\partial f}{\partial r}$ võib asendada samaväärse avaldisega $\frac{1}{r^{N - 1}} \frac{\partial}{\partial r} (r^{N - 1} \frac{\partial f}{\partial r}) .$