Klassikalise elektromagnetismi kovariantne formuleering

Mall:Elektromagnetism Klassikalise elektromagnetismi kovariantne formuleering on klassikalise elektromagnetismi esitamine kovariantsel kujul erirelatiivsusteooria formalismi abil.

Kovariantsest esitusest saab rääkida ka üldrelatiivsusteooria kontekstis.

Kovariantsed objektid

Lisaks asukoha, kiiruse ja impulsi neli-vektorite on elektromagnetvälja ja laetud osakeste kirjeldamiseks tarvis veel järgmisi matemaatilisi objekte:

Elektromagnentvälja tensor

Elektromagnetvälja tensoris on magnetiline induktsioon ja elektrivälja tugevus ühendatud üheks antisümmeetriliseks tensoriks. SI-süsteemi ühikutes on selle kuju

$F_{\alpha \beta }=\left(\begin{array}{cccc}0& E_x/c& E_y/c& E_z/c\\ -E_x/c& 0& -B_z& B_y\\ -E_y/c& B_z& 0& -B_x\\ -E_z/c& -B_y& B_x& 0\end{array}\right),$

kus

$𝑬$ on elektrivälja tugevus,

$𝑩$ on magnetiline induktsioon ja

$c$ on valguse kiirus.

Voolu neli-vektor

Voolu neli-vektor on kontravariantne neli-vektor, mis ühendab elektrivoolu tiheduse ja laengutiheduse ühtseks neli-vektoriks. Esitatuna amprites ruutmeetri kohta on see kujul

$J^{\alpha }=(c\rho ,𝑱)$

kus $\rho$ on laengutihedus, $𝑱$ on voolutihedus, ja $c$ on valguse kiirus.

Potentsiaali neli-vektor

Elektromagnetvälja neli-potentsiaal on elektrivälja skalaarsest potentsiaalist $\varphi$ ja magnetvälja vektorpotentsiaalist $𝑨$ moodustatud neli-vektor

$A_{\alpha }=(\varphi /c,-𝑨)$.

Elektromagnetvälji avaldub 4-potentsiaali kaudu järgmiselt:

$F_{\alpha \beta }={\partial }_{\alpha }{A}_{\beta }-{\partial }_{\beta }{A}_{\alpha }$

kus

${\partial }_{\alpha }=\frac{\partial }{\partial x^{\alpha }}=(\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t},\mathrm{\nabla }).$

Elektromagnetvälja energia-impulsi tensor

Elektromagnetvälja energia-impulsi tensor on sümmeetriline kontravariantne tensor

$T^{\alpha \beta }=\left[\begin{array}{cccc}\frac{{ϵ}_0}{2}(E^2+c^2{B}^2)& S_x/c& S_y/c& S_z/c\\ S_x/c& -{\sigma }_{xx}& -{\sigma }_{xy}& -{\sigma }_{xz}\\ S_y/c& -{\sigma }_{yx}& -{\sigma }_{yy}& -{\sigma }_{yz}\\ S_z/c& -{\sigma }_{zx}& -{\sigma }_{zy}& -{\sigma }_{zz}\end{array}\right],$

mis ühendab endasse Poyntingi vektori

$\mathrm{S}=\frac{1}{{\mu }_0}\mathrm{E}\times \mathrm{B},$

elektromagnetvälja energiatiheduse

$\frac{{ϵ}_0}{2}(E^2+c^2{B}^2),$

ja Maxwelli pingetensori komponentidega

${\sigma }_{ij}={ϵ}_0{E}_i{E}_j+\frac{1}{{\mu }_0}{B}_i{B}_j-\frac{{ϵ}_0}{2}(E^2+c^2{B}^2){\delta }_{ij},$

kus ${ϵ}_0$ on elektriline konstant, ${\mu }_0$ on magnetiline konstant ja $\eta$ on Minkowski meetrika. Ülal on kasutatud seost

$c^2=\frac{1}{{ϵ}_0{\mu }_0}.$

Maxwelli võrrandid

Kovariantses formuleeringus on Maxwelli võrrandite kuju võrdlemisi kompaktne:

$\frac{\partial F^{\alpha \beta }}{\partial x^{\alpha }}={\mu }_0{J}^{\beta }\text{ja}0={ϵ}^{\alpha \beta \gamma \delta }\frac{\partial F_{\alpha \beta }}{\partial x^{\gamma }}$,

kus $F^{\alpha \beta }$ on elektromagnetvälja tensor, $J^{\alpha }$ on neli-vool, ${ϵ}^{\alpha \beta \gamma \delta }$ on Levi-Civita sümbol ja üle korduvate indeksite summeeritakse Einsteini summeerimiskokkuleppe järgi.

Lorentzi jõud

Punktlaengu liikumisvõrrandite kovariantne kuju on

$\frac{d{p}_{\alpha }}{d\tau }=q{F}_{\alpha \beta }{u}^{\beta }$

kus $p_{\alpha }$ on punktosakese neli-impulss, $q$ on selle elektrilaeng, $u^{\beta }$ on neli-kiirus ja $\tau$ on osakese omaaeg. See võrrand on Newtoni II seaduse analoog relativistlikul juhul, kusjuures võrduse vasak pool on Lorentzi jõu kovariantne avaldis.

Pidevuse võrrand

Laengu jäävusele vastava pidevuse võrrandi kovariantne kuju on

${J^{\alpha }}_{,\alpha }\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}{\partial }_{\alpha }{J}^{\alpha }=0.$

Vaata ka

• Elektromagnetvälja tensor
• Liénardi–Wiecherti potentsiaal
• Kvantelektrodünaamika