Dekonvolutsioon

Fotol A on näha algfoto. Fotol B on pilti udustatud, konvoleerides originaali udustamiskerneliga, ning sellele on lisatud silmale peaaegu märkamatu müra. Fotol C on sagedusdomeenis üritatud jagamise abil foto B konvoleerimiseks kasutatud kerneliga dekonvoleerida, aga tulemuseks saadud pilt on originaaliga võrreldes moonutatud

Matemaatiliselt on dekonvolutsioon konvolutsiooni pöördoperatsioon. Signaalitöötluse kontekstis rakendatakse dekonvolutsiooni mõistet tervele hulgale algoritmidele, mille eesmärgiks on taasluua konvolutsiooni sisendit, teades väljundit ja osadel juhtudel ühte sisendeist. Dekonvolutsiooni kasutatakse näiteks pilditöötluses, elektroonikas ja teaduses.

Signaalis esinevaid efekte on võimalik tihti modelleerida konvolutsiooniga. Seega on võimalik nende eemaldamine dekonvolutsiooni abil. Nii näiteks saab fotolt eemaldada kaamera liikumise tõttu tekkinud hägu.

Sellist erijuhtu, kus on teada ainult konvolutsiooni tulemus ning üritatakse hinnata mõlemat sisendit nimetatakse pimesi dekonvoleerimiseks. Pimesi dekonvoleerimise meetodid on subjektiivsed ja üldjuhul sõltuvad spetsiifilisest rakendusest.

Dekonvolutsiooni muudab praktikas keeruliseks signaalile keskkonnast lisanduv müra $\xi$:

$(f*g)+\xi =h$

See on probleem, sest dekonvolutsioon võimendab müra, näiteks pildile silmale märkamatu müra lisamine muudab dekonvolutsiooni tulemuse oluliselt moonutatuks originaalsest sisendsignaalist (vt näide paremal).

Samuti võib dekonvolutsiooni raskendada olukord, kus konvolutsiooni sisend(id) on ruumis varieeruvad (anisoplanatism).

Meetodid

Dekonvolutsioon foto teravustamiseks Wieneri filtri abil

Näited on toodud funktsioonidele (signaalidele) $f$, $g$ ja $h$, mille vahel kehtib seos $f*g=h$. Antud nimekiri ei ole ammendav, meetodeid leidub veel.

Ajadomeenis maatriksarvutus

Lihtne meetod dekonvolutsiooni teostamiseks ühe teadaoleva sisendiga on ajadomeenis tehtav maatrikskorrutis. Selle teostamiseks tuleb teadaolev sisend viia Toeplitzi maatriksi kujule (võrrandis $T$) ja leida selle pöördmaatriks. Ka siis, kui loodud Toeplitzi maatriks ei ole regulaarmaatriks, on võimalik ikkagi sisendile anda hinnang kasutades Moore-Penrose'i pseudopöördmaatriksit. Antud maatriksiga on võimalik lahendada tekkinud maatriksvõrrand:

$f*g=h$

$fT=h$

$f=h{T}^{-1}$

Meetodi piirangud on pöördmaatriksi olemasolu tingimus ja arvutamiseks tehtavate operatsioonide arv (kiirem oleks teha Fourier' kiirteisendus ja viia dekonvolutsioon läbi seal).

Jagamine sagedusdomeenis

Üldjuhul viiakse dekonvolutsiooni läbi sagedusruumis, pärast teadaolevatele funktsioonidele Fourier' teisenduse rakendamist. Liikudes ajadomeenist sagedusdomeeni muutub konvolutsioon korrutamiseks, seega muutub ka dekonvolutsioon jagamiseks. Selle meetodi kasutamine on otstarbekas ja ka üsna levinud tänu Fourier' kiirteisenduse kiirusele ja jagamisoperatsiooni suhtelisele lihtsusele.

Viime signaalid üle sagedusdomeeni:

$ℱ(g(t))=G(\omega )$

$ℱ(h(t))=H(\omega )$

Sellisel juhul avaldub $f$ sagedusspekter kujul: $F=\frac{H}{G}$

Wieneri dekonvolutsioon

Wieneri filter võimaldab teostada dekonvolutsiooni signaalile, millele on lisandunud müra. Viimasele antakse statistiline hinnang üritades leida lähimat vastet originaalsele signaalile minimeerides keskmist ruuthälvet. Tegemist on lineaarse filtriga

Kasutusvaldkonnad

• 

  Konfokaalse mikroskoobi pilt vähirakust, mida on dekonvoleeritud teravustamiseks

  Seismoloogias on dekonvolutsioon kasutusel seismogrammide lahutuse tõstmiseks.
• Astronoomias kasutatakse näiteks atmosfäärist tulenevate optiliste efektide või teleskoobi peeglite aberratsiooni eemaldamiseks.
• Loodusteadustes kasutatakse konfokaalses mikroskoopias kogutud piltide teravustamiseks.
• Meditsiinilises piltdiagnostikas kasutatakse pime-dekonvolutsiooni ultraheliuuringutes. Uuringuseadme poolt vastu võetud signaali saab modelleerida kui konvolutsiooni kudede peegeldusfunktsioonist ja seadme PSF-ist (ingl. Point Spread Function), millele on lisandunud müra.

Välislingid

• Richardsoni-Lucy dekonvolutsiooni algoritm