Astendamine

Astendamiseks nimetatakse matemaatilist tehet $a^n$ kahe arvuga: arvu $n$ nimetatakse astendajaks ehk eksponendiks ning arvu $a$ astendatavaks ehk astme aluseks. Kui $n$ on naturaalarv, siis tähendab astendamine $n$ võrdse teguri $a$ korrutamist:

$a^n=\underset{n}{\underbrace{a\times \cdots \times a}}.$

Astendamise pöördtehted on juurimine ja logaritmimine.

Astme mõiste

Astmeks nimetatakse

• ühest suurema naturaalarvu $n$ korral korrutist, milles on $n$ võrdset tegurit $a$: $a^n=\underset{n}{\underbrace{a\times a\times \cdots \times a}}$
• negatiivse astendaja korral $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$, kui $a$ ≠ 0
• $a^1=a$
• $a^0=1$, kui $a>0$
• ratsionaalarvulise astendaja korral $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$, $a$ > 0
• irratsionaalarvulise astendaja korral $a^s=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}^{r_n}$, kus $r_n$ on suvaline ratsionaalarvude jada, mille piirväärtuseks on irratsionaalarv $s$.

Astme omadusi

• Kui $a>0$, siis iga reaalarvulise astendaja $r$ korral ka $a^r>0$
• ${(-a)}^{2n}=a^{2n}$
• ${(-a)}^{2n+1}=-a^{2n+1}$
• Iga $r>0$ korral $0^r=0$

1. $1^r=1$

Tehted astmetega

1. Võrdsete alustega astmete korrutamisel astendajad liituvad $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$
2. Võrdsete astendajatega astmete korrutamisel astendatavad korrutatakse $a^m\cdot b^m=(ab{)}^m$
3. Võrdsete alustega astmete jagamisel astendajad lahutatakse $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$
4. Võrdsete astendajatega astmete jagamisel astendatavad jagatakse $\frac{a^m}{b^m}={\left(\frac{a}{b}\right)}^m$
5. Astme astendamisel astendajad korrutatakse ${(a^m)}^n=a^{m\cdot n}$

Vaata ka

• Juur (matemaatika)
• Logaritm
• Newtoni binoomvalem
• Astmefunktsioon
• Aritmeetiline tehe