Päratu integraal

Olgu funktsioon $f(x)$ määratud ja pidev piirkonnas $[a,\mathrm{\infty }),$ siis funktsiooni päratuks integraaliks piirkonnas $[a,\mathrm{\infty })$ nimetatakse piirväärtust

$\underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx=\underset{b\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx.$

Kui piirväärtus on olemas, siis öeldakse, et päratu integraal koondub. Kui seda piirväärtust ei eksisteeri või kui ta on lõpmatu, siis öeldakse, et päratu integraal hajub.

Näide

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{dx}{1+x^2}=\underset{b\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\underset{0}{\overset{b}{\int }}\frac{dx}{1+x^2}=\underset{b\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\arctan x{|}_0^b=\underset{b\to +\mathrm{\infty }}{\lim }(\arctan b-\arctan 0)=\frac{\pi }{2}-0=\frac{\pi }{2}.$

Seega antud päratu integraal koondub ja selle väärtus on π/2.

Päratu integraal teiste lõpmatute vahemike korral

Analoogselt defineeritakse päratu integraal piirkonnas $(-\mathrm{\infty },b]:$

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=\underset{a\to -\mathrm{\infty }}{\lim }\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx.$

Vahemikus $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ defineeritakse päratu integraal järgmiselt (kasutades aditiivsust):

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{c}{\int }}f(x)dx+\underset{c}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx=\underset{a\to -\mathrm{\infty }}{\lim }\underset{a}{\overset{c}{\int }}f(x)dx+\underset{b\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\underset{c}{\overset{b}{\int }}f(x)dx,$

kus $c$ on suvaliselt valitud arv.

Päratu integraali geomeetriline tähendus

Kui piirkonnas $[a,\mathrm{\infty })$ on funktsiooni $f(x)$ graafik x-telje kohal ($f(x)>0$), siis on päratu integraali geomeetriline tähendus analoogiline määratud integraali geomeetrilise tähendusega. Päratu integraal

$\underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx$

on võrdne sellise xy-tasandi piirkonna pindalaga, mida piiravad x-telg, vertikaalne sirge x=a ja funktsiooni $f(x)$ graafik.

Funktsiooni $f(x)=1/(1+x^2)$ graafik

Näide

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{1+x^2}dx=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{0}{\int }}\frac{dx}{1+x^2}+\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{dx}{1+x^2}$

on võrdne sellise xy-tasandi piirkonna pindalaga, mida piiravad x-telg ja funktsiooni $f(x)=\frac{1}{1+x^2}$ graafik. Eespool selgus, et

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{dx}{1+x^2}=\frac{\pi }{2}.$

Seega

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{1+x^2}dx=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{0}{\int }}\frac{dx}{1+x^2}+\frac{\pi }{2}=\underset{a\to -\mathrm{\infty }}{\lim }\underset{a}{\overset{0}{\int }}\frac{dx}{1+x^2}+\frac{\pi }{2}=\underset{a\to -\mathrm{\infty }}{\lim }\arctan x{|}_a^0+\frac{\pi }{2}=0-(-\frac{\pi }{2})+\frac{\pi }{2}=\pi .$

Vaata ka

• Määramata integraal