Määratud integraal

Funktsiooni määratud integraal on arvuliselt võrdne sinisega tähistatud ala pindala ja kollasega tähistatud ala pindala vahega

Olgu reaalmuutuja funktsioon$f(x)$ pidev ja tõkestatud lõigus [a, b], siis määratud integraal

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$

on arvuliselt võrdne xy-tasandil funktsiooni $f(x)$ graafiku, x-telje ning vertikaalsete sirgetega x = a ja x = b piiratud kujundi märgiga pindalaga, s.o x-teljest ülespoole ja allapoole jääva osa pindalade vahega.

Newtoni-Leibnizi valem

Olgu funktsioon $f(x)$ lõigus [a, b] integreeruv ja leidugu tal selles lõigus algfunktsioon $F(x)$. Siis

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=F(x){|}_a^b=F(b)-F(a)$

Arve a ja b nimetatakse vastavalt integraali alumiseks ja ülemiseks rajaks. Lõiku [a; b] nimetatakse integreerimislõiguks.

Näide

$\underset{0}{\overset{2}{\int }}2xdx=x^2{|}_0^2=2^2-0^2=4$

Riemanni integraalsumma

Riemanni summa koondub, kui osalõike vähendada ükskõik mis viisil

Olgu a ja b reaalarvud (a < b), siis lõigu [a,b] saab jaotada osalõikudeks nii, et

$a=x_0\le t_1\le x_1\le t_2\le x_2\le \cdots \le x_{n-1}\le t_n\le x_n=b.$

Lõigu [a,b] n osalõiguks [x_i−1, x_i] jaotamisel (i=1,2,...,n) ja fikseerides igas osalõigus suvaliselt mingi punkt t_i ∈ [x_i−1, x_i], avaldub funktsiooni f(x) Riemanni integraalsumma lõigus [a, b] kujul

$\sigma =\sum _{i=1}^{n}f(t_i){\mathrm{\Delta }}_i=\sum _{i=1}^{n}f(t_i)(x_i-x_{i-1}),$

kus iga liige summas on väikese ristküliku pindala. Ristküliku kõrgus on võrdne funktsiooni väärtusega kohal t_i ja laius on sama mis osalõigu [x_i−1, x_i] pikkus Δ_i. Olgu Δ_i = x_i−x_i−1 osalõigu i pikkus; siis osalõikude maksimaalne pikkus on λ=max_1≤i≤n Δ_i. Seega esindab λ kõiki selliseid jaotusi, sõltumata jaotusviisist, kus osalõikude [x_i−1, x_i] maksimaalne pikkus on λ. Kui eksisteerib piirväärtus

$\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sigma =\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f(t_i){\mathrm{\Delta }}_i.$

mis ei sõltu lõigu [a; b] osalõikudeks jaotamise viisist ja punktide t_i valikust, siis kõneldakse, et funktsioon f(x) on integreeruv (Riemanni mõttes) lõigus [a; b] .

Vaata ka

• Määramata integraal
• Päratu integraal