Ühe muutujaga ruutvõrratus

Mall:ToimetaAeg Ühe muutujaga ruutvõrratuseks nimetatakse võrratust üldkujuga $a{x}^2+bx+c>0$ või ($a{x}^2+bx+c<0$ või $a{x}^2+bx+c\ge 0$ või $a{x}^2+bx+c\le 0$), milles a, b ja c on antud arvud ($a\ne 0$) ja x on tundmatu.

Ruutvõrratuse lahendamise etapid

Olgu meil antud ruutvõrratus kujul $a{x}^2+bx+c<0$. Ruutvõrratuse lahendamist alustame esmalt ruutfunktsiooni $y=a{x}^2+bx+c$ nullkohtade leidmisest. Selleks lahendame ruutvõrrandi $a{x}^2+bx+c=0$. Järgnevalt kanname reaalarvude teljele leitud nullkohad ning skitseerime ruutfunktsiooni graafiku. Ruutfunktsiooni graafiku skitseerimisel peame pidama meeles:

• kui a>0 (ruutliikme kordaja on positiivne), siis ruutfunktsiooni graafikuks olev parabool avaneb üles
• kui a<0 (ruutliikme kordaja on negatiivne), siis ruutfunktsiooni graafikuks olev parabool avaneb alla

Näide 1

Lahendame ruutvõrratuse $x^2-9x+14\le 0$.

• lahendame ruutvõrrandi $x^2-9x+14=0$ ja saame lahenditeks $x_1=2$ ja $x_2=7$;
• Kanname reaalarvude teljele leitud nullkohad ning joonestame läbi leitud punktide ruutfunktsiooni graafikuks oleva parabooli. Kuna ruutliikme kordaja on positiivne, avaneb parabool üles.
• leiame jooniselt, milliste väärtuste korral on $y\le 0$. Saame vastuseks: $x\in [2;7]$. Seda võib märkida üles ka kujul $2\ge x\le 7$

Näide 2

Lahendame ruutvõrratuse $-16x^2+24x-9\ge 0$.

• Mugavuse huvides korrutame võrratuse läbi -1, et saada ruutliikme kordaja positiivseks. Siinkohal peame meeles, et negatiivse arvuga korrutades muutub võrratuse märk vastupidiseks:

$-16x^2+24x-9>0|\cdot (-1)\iff 16x^2-24x+9<0$

• Järgnevalt leiame ruutfunktsiooni $y=16x^2-24x+9$ nullkohad, lahendades ruutvõrrandi $16x^2-24x+9=0$

Lahenditeks saame $x_1=x_2=0,75$

• Kanname reaalarvude teljele leitud nullkohad ning joonestame läbi leitud punktide ruutfunktsiooni graafikuks oleva parabooli. Piirkondade leidmiseks vaatame algteksti. Kuna ruutliikme kordaja on negatiivne, avaneb parabool alla.
• Võrratuste lahenditeks on kõik mittenegatiivsed reaalarvud. Ainukeseks lahendiks tuleb seetõttu $x=0,75$

Näide 3

Lahendame võrratuse kujul (x+1)(3-2x)>0. Selleks leiame esimese sammuna väärtused, millal korrutis (x+1)(3-2x)=0. Korrutis on null siis, kui üks tema liikmetest on võrdne nulliga. Järelikult $(x+1)=0\Rightarrow x=-1$ ja $(3-2x)=0\Rightarrow x=\frac{3}{2}$. Kanname saadud punktid reaalarvude teljele ja joonestame välja ruutfunktsiooni graafikuks oleva parabooli. Parabool avaneb alla, sest avades sulud (x+1)(3-2x) saame ruutliikme kordajaks negatiivse arvu. Graafikult võime lugeda, et võrratuse lahenditeks on vahemik $-1<x<\frac{3}{2}$

Kirjandus

• Mall:Cite book
• Sirje Trahv "Ruutvõrrand ja võrratus" http://rakgym.edu.ee/opetajad/sirjetrahv/ruutv/ruutvrratuse_lahendamise_etapid.html#
• Lepmann, L., Velsker, K.(2000) Matemaatika 8. klassile. Tallinn, Koolibri.
• Merle Sukk "Ruutvõrratus" http://www.vmg.vil.ee/oppematerjalid/matemaatika/Merle_Sukk/10_klass/