Lorentzi teisendus

Diagramm 1. Suure kiirendusega vaatleja vaade aegruumile aegruumi trajektoori kõrval.

Vertikaalne suund kujutab aega. Horisontaalne kujutab ruumi, punktiirjoon on vaatleja trajektoor aegruumis. Diagrammi alumine neljandik tähistab vaatlejale nähtavaid sündmusi. Ülemine neljandik tähistab vaatlejale tulevikus nähtavaid sündmusi. Pisikesed punktid on suvalised sündmused aegruumis.

Punktiirjoone kallak (hälve vertikaalsusest) näitab vaatleja suhtelist kiirust. Pane tähele, kuidas vaade aegruumile muutub, kui vaatleja kiirendab

Lorentzi teisendus (hollandi füüsiku Hendrik Lorentzi järgi) on aegruumi teisendus erirelatiivsusteoorias, millega seotakse kahe erineva inertsiaalses taustsüsteemis paikneva vaatleja mõõtmistulemused.

Sarnaselt klassikaliste Galilei teisendustega Newtoni füüsikas sisaldavad Lorentzi teisendused ruumi pöördeid (koordinaattelgede pööramine alguspunkti ümber). Fundamentaalne erinevus Galilei ja Lorentzi teisenduste vahel seisneb selles, kuidas viimastes teineteise suhtes erineva kiirusega liikuvaid vaatlejaid kirjeldatakse: relatiivsusteoorias on ajaühikud, ruumilised pikkused ning sündmuste ajaline järjestuski erinevate kiirustega liikuvate vaatlejate jaoks erinevad. Viimane tuleneb asjaolust, et valguse kiirus kõigi vaatlejate jaoks alati ühesugune on.

Kiiruste korral, mis on valguse kiirusest tunduvalt väikesemad, kattuvad Lorentzi teisendused hästi vastavate Galilei teisendustega. Viimane on kooskõlas üldisema faktiga, et erirelatiivsusteooria saab väikestel kiirustel Newtoni mehaanikaga peaaegu identseks.

Lorentzi teisenduste kuju

Lorentzi teisendus teineteise suhtes kiirusega v liikuvate vaatlejate jaoks on

$\{\begin{array}{cc}{t}^{\prime }& =\gamma (t-vx/c^2)\\ x^{\prime }& =\gamma (x-vt)\\ y^{\prime }& =y\\ z^{\prime }& =z\end{array}$,

kus suurust

$\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-{\left(\frac{v}{c}\right)}^2}}$

nimetatakse Lorentzi teguriks ja viimast teisendust Lorentzi tõukeks suunas x.

Maatrikskuju

Ülalkirjeldatud Lorentzi tõuge väljendub maatriksite keeles kui

$\left(\begin{array}{c}c{t}^{\prime }\\ x^{\prime }\\ y^{\prime }\\ z^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}\gamma & -\beta \gamma & 0& 0\\ -\beta \gamma & \gamma & 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}ct\\ x\\ y\\ z\end{array}\right),$

kus $\beta =\frac{v}{c}$ ja $\gamma =\frac{1}{{(1-{\beta }^2)}^{\frac{1}{2}}}$.

Viimane teisendus kirjeldab vaid Lorentzi tõuget, kuid Lorentzi teisenduste hulka kuuluvad veel näiteks ruumi pöörded ja peegeldused. Üldiselt, kui L_mn (m,n = 0,1,2,3) tähistavad Lorentzi teisenduse maatriksi elemente, siis iga maatriks, mis rahuldab tingimust

$\sum _{k,p=0}^4{L}_{mk}{\eta }_{kp}{L}_{pn}={\eta }_{mn}$

kirjeldab mingisugust Lorentzi teisendust. ${\eta }_{mn}$ tähistab siin tasase aegruumi meetrikat ehk Minkowski meetrikat

${\eta }_{mn}=\left(\begin{array}{cccc}-1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right).$

Või lühemalt $diag(-,+,+,+)$ (tähistuse kohta vt artiklit diagonaalne maatriks). Mõnikord kasutatakse ka meetrikat $diag(+,-,-,-)$, kuid see on kokkuleppe küsimus, sest sisulist erinevust nende vahel pole.

Lorentzi teisendused moodustavad Lorentzi rühma.

Vaata ka

• Galilei teisendus, Lorentzi teisenduse vaste Newtoni mehaanikas.
• Poincaré teisendus võib lisaks Lorentzi teisendusetele tekitada ka nihkeid aegruumis.

Kirjandus

• "Eri- ja üldrelatiivsusteooriast (üldarusaadavalt)". Autor Albert Einstein. (Lk 31, § 11 Lorentzi teisendus) Tõlkinud, märkused ja saatesõna kirjutanud Piret Kuusk. Tartu: Ilmamaa, 2022. ISBN 9789985778067