Lihtne teist järku diferentsiaalvõrrand

Lihtsaks teist järku diferentsiaalvõrrandiks nimetatakse diferentsiaalvõrrandit, millele saab anda kuju y''=f(x) (loetakse "igrek teine tuletis võrdub funktsioon iksist").

Teist järku tuletise avaldamine diferentsiaali kaudu

Et diferentsiaalvõrrandi lahendamiseks on vaja võtta võrrandi mõlemast poolest integraal peab tuletised kuidagi avaldama diferentsiaalide kaudu.

Funktsiooni y=f(x) diferentsiaal on dy=y'dx, mis kujutab endast argumendi x funktsiooni, seepärast võime leida ka dy diferentsiaali, mida nimetatakse teist järku diferentsiaaliks. sel puhul kirjutatakse d(dy) ehk lühidalt d²y ja loetakse "de kaks igrek".

Avaldame funktsiooni teist järku diferentsiaali funktsiooni tuletise kaudu. Selleks diferentseerime x järgi võrdust dy=y'dx, kusjuures dx loeme konstandiks, kuna dx ei sõltu x-ist:

d²=d(y'dx)=d(y')dx, kuid vastavalt diferentsiaali mõistele saame d(y')=(y')'dx=ydx. Seepärast $d^{2}y=y^{″}dx\cdot dx=y^{″}d{x}^2\frac{}{}$, kus $d{x}^2\frac{}{}$ tähendab diferentsiaali dx ruutu (loetakse "de iks ruut"). jagades saadud valemit astmega $d{x}^2\frac{}{}$, leiame $y^{″}=\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$. Tähendab siis, funktsiooni y=f(x) teist järku tuletis avaldub selle funktsiooni teist järku diferentsiaali ja argumendi diferentsiaali ruudu jagatisena.

Seega saame võrrandi y=f(x) esitada kujul: $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=f(x)$. Kui selles võrrandis asendada $\frac{dy}{dx}=p$, siis teisendub võrrand muutuja p suhtes esimest järku diferentsiaalvõrrandiks.

Näited

Näide 1

Lahendada võrrand $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=4x+3$

Lahendus: Tähistame $\frac{dy}{dx}=p$, siis $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{dp}{dx}$. Antud võrrandi võime kirjutada järgmiselt: $\frac{dp}{dx}=4x+3/\cdot dx\Rightarrow dp=(4x+3)dx$. Järgnevalt integreerime vasakut poolt muutuja p, paremat poolt muutuja x järgi ehk võtame võrrandi mõlemast poolest integraali.

$\int dp=\int (4x+3)dx\Rightarrow p=2x^2+3x+C_1$, kuid kuna $p=\frac{dy}{dx}$ siis võime kirjutada $\frac{dy}{dx}=2x^2+3x+C_1$. Saime eralduvate muutujatega esimest järku diferentsiaalvõrrandi. Järgnevalt eraldame muutujad korrutades võrrandi mõlemat poolt läbi dx-iga.

$\frac{dy}{dx}/\cdot dx=2x^2+3x+C_1/\cdot dx\Rightarrow dy=(2x^2+3x+C_1)dx$. Integreerides veelkord saame:

$y=\int (2x^2+3x+C_1)dx=\frac{2}{3}{x}^3+\frac{3}{2}{x}^2+C_{1}x+C_2$. See on antud võrrandi üldlahend. Et leida erilahendit peame teadma vähemalt kahte punkti mida see funktsiooni graafik läbib.

Vastus: Võrrandi üldlahend on $y=\frac{2}{3}{x}^3+\frac{3}{2}{x}^2+C_{1}x+C_2$

Näide 2

Lahendada eelnev diferentsiaalvõrrand $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=4x+3$ eeldades, et funktsiooni graafik läbib punkte (0;6) ja (1; 1/6).

Lahendus: Kõigepealt on vaja leida võrrandi üldlahend. Üldlahendi leidmist siinkohal kordama ei hakka kuna see on esitatud eelmises näites.

Lahendamiseks asendame vastavad x ja y väärtused üldlahendisse, saame C₁ ja C₂ määramiseks järgmise võrrandisüsteemi:

$\{\begin{array}{c}6=\frac{2}{3}\cdot 0+\frac{3}{2}\cdot 0+C_1+C_2\\ \frac{1}{6}=\frac{2}{3}\cdot 1+\frac{3}{2}\cdot 1+C_1\cdot 1+C_2\end{array}$. Lahendades antud lineaarvõrrandisüsteemi saame lahenditeks $C_1=-8\frac{}{}$ ja $C_2=6\frac{}{}$.

Antud tingimustele vastav erilahend on seega $y=\frac{2}{3}{x}^3+\frac{3}{2}{x}^2-8x+6$

Kontroll: Lahendi õigsuse kontrollimiseks leiame selle funktsiooni teise tuletise:

$\frac{dy}{dx}=(\frac{2}{3}{x}^3+\frac{3}{2}{x}^2-8x+6{)}^{\prime }=2x^2+3x-8$, järgnevalt võtame tuletise teistkordselt.

$\frac{d^2}{d{x}^2}=(2x^2+3x-8{)}^{\prime }=4x+3$, kuna saime lähtevõrrandi võime arvata, et ülesanne on õigesti lahendatud.

Vastus: $y=\frac{2}{3}{x}^3+\frac{3}{2}{x}^2-8x+6$