Lagrange'i keskväärtusteoreem

Lagrange'i keskväärtusteoreem on üks matemaatilise analüüsi põhilisi tulemusi. Kõlab ta järgnevalt: kui funktsioon $f$ on pidev lõigus $[a,b]$ ning tal leidub lõplik tuletis vahemikus $(a,b)$, siis leidub $c\in (a,b)$ nii, et $f^{\prime }(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$.

Tõlgendusi

Geomeetriline tõlgendus

Geomeetriliselt ütleb Lagrange'i keskväärtusteoreem, et kui funktsioon $f$ on pidev mingis lõigus $[a,b]$ ning diferentseeruv vahemikus $(a,b)$, siis leidub $a$ ja $b$ vahel niisugune arv $c$, et funktsiooni $f$ graafiku puutuja kohal $c$ on paralleelne punkte $(a,f(a))$ ning $(b,f(b))$ läbiva lõikajaga.

Füüsikaline tõlgendus

Lagrange'i keskväärtusteoreemi eeldustel leidub niisugune $c\in (a,b)$, et funktsiooni $f$ väärtuse muutumise kiiruseks punktis $c$ on teatavas mõttes funktsiooni $f$ väärtuse keskmine muutumise kiirus lõigus $[a,b]$. Olgu näiteks funktsiooniks $f$ auto läbitud teepikkuse sõltuvus ajast. Eeldame, et autol on igal ajahetkel olemas lõplik hetkkiirus (s. t. funktsioon $f$ on kõikjal diferentseeruv; diferentseeruvusest järeldub ka pidevus). Lagrange'i keskväärtusteoreem ütleb nüüd, et kui auto keskmine kiirus teekonna jooksul oli 60 km/h, siis mingil ajahetkel selle teekonna jooksul oli auto hetkkiiruseks 60 km/h.

Tõestus

Olgu täidetud Lagrange'i keskväärtusteoreemi eeldused. Määratleme lõigus $[a,b]$ uue funktsiooni $g(x):=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$. Paneme tähele, et siis $g(a)=g(b)$ ning funktsioon $g$ on lõigus $[a,b]$ pidev ja omab vahemikus $(a,b)$ lõplikku tuletist, kusjuures iga $x\in (a,b)$ korral $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$. Rolle'i teoreemi põhjal leidub seega $c\in (a,b)$ nii, et $g^{\prime }(c)=0$ ehk $f^{\prime }(c)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0$, m. o. t. t.