Forsseerimine (matemaatika)

Forsseerimine on hulgateoorias meetod, mille abil konstrueeritakse mudeleid, mida rakendatakse peamiselt suhtelistes kooskõlalisustõestustes.

Forsseerimist rakendas esimesena 1963 Paul Cohen, tõestades valikuaksioomi sõltumatuse aksiomaatikast ZF ning kontiinumi hüpoteesi sõltumatuse aksiomaatikatest ZF ja ZFC. Hiljem on Coheni meetodit mitmeti edasi arendatud.

Põhiidee

Forsseerimise meetodi põhiidee seisneb selles, et hulgateooria aksiomaatika (näiteks ZFC) antud mudelile (alusmudelile $M$) lisatakse teatud hulk $G$ nõnda, et tekib jälle selle aksiomaatika mudel (geneeriline laiend $M[G]$). Konstruktsioon on niisugune, et hulka $G$ saab alusmudelis lähendada; see võimaldab väljendada mudeli $M[G]$ omadusi (nagu näiteks kontiinumi hüpoteesi kehtetust) alusmudelis $M$ defineeritavas keeles ning seejärel tõestada.

Mudel M[G]

Olgu $M$ Zermelo-Fraenkeli hulgateooria (ZFC) loenduv transitiivne mudel. (Seda eeldust on selgitatud alajaotuses Forsseerimine ja suhtelised kooskõlalisustõestused.)

Tingimushulgad ja geneerilised filtrid

Tingimushulga all mõistetakse mudelil $M$ defineeritud järjestatud kolmikut $⟨P,{\le }_P,1_P⟩$, kus ${\le }_P$ on eeljärjestus hulgal $P$ ning $1_P$ on suurim element selle eeljärjestuse suhtes. Hulga $P$ elemente nimetatakse tingimusteks. Tingimus $p$ on tugevam kui tingimus $q$, kui $p\le q$. Rakendustes on eeljärjestus ${\le }_P$ enamasti antisümmeetriline, nii et tegu on osalise järjestusega. Teoorias ei ole see nõue tarvilik.

Hulka $D\subseteq P$ nimetatakse tihedaks, kui

$\mathrm{\forall }p\in P\mathrm{\exists }q\in Dq\le p,$

st kui iga tingimuse korral eksisteerib sellest tugevam tingimus hulgas $D$. Filtrit $G\subseteq P$ nimetatakse geneeriliseks, kui ta laseb läbi mudeli $M$ iga tiheda alamhulga, st kui $D\cap G\ne \mathrm{\varnothing }$ kõigi tihedate hulkade $D\in M$ korral.

Rasiowa-Sikorski lemmast järeldub, et iga $p\in P$ korral eksisteerib geneeriline filter $G$, mille element $p$ on. Kõigi huvitavate tingimushulkade puhul jääb $G$ väljapoole mudelit $M$.

Kirjandus

• Keneth Kunen. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs, North-Holland 1980, ISBN 0-444-85401-0.
• Thomas Jech. Set Theory, Springer-Verlag: Berlin, Heidelberg 2006, ISBN 3-540-44085-2.