Cauchy-Schwarzi võrratus

Cauchy-Schwarzi võrratus (ka Cauchy-Schwarzi-Bunjakovski võrratus) on võrratus, mis ütleb, et vektorite skalaarkorrutise moodul pole suurem vektorite pikkuste (normide) korrutisest:

$|⟨x,y⟩|\le \Vert x\Vert \Vert y\Vert ,$

kus $⟨x,y⟩$ ja $\Vert x\Vert ,\Vert y\Vert$ vastavalt vektorite $x,y\in V$ skalaarkorrutis ja pikkused ning V on mõni skalaarkorrutisega vektorruum. Võrratuse asemel on võrdus parajasti siis, kui x ja y on lineaarselt sõltuvad.

Erijuhud

• Eukleidilises ruumis ${ℝ}^n$ kehtib:

${\left(\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i\right)}^2\le \left(\sum _{i=1}^n{x}_i^2\right)\left(\sum _{i=1}^n{y}_i^2\right)$.

• Ruutintegreeruvate funktsioonide ruumis

${|\int f(x)g(x)dx|}^2\le \int {|f(x)|}^{2}dx\cdot \int {|g(x)|}^{2}dx.$

Tõestuse idee

Vaatame suurust $\Vert x+\lambda y{\Vert }^2$, kus $\lambda$ on suvaline kompleksarv ja x ja y vektorid. Trikk tõestuse juures on moodustada vektor $x+\lambda y$ ja arvutada selle vektori pikkus, mis ei saa olla negatiivne:

$\Vert x+\lambda y{\Vert }^2=⟨x+\lambda y,x+\lambda y⟩=\Vert x{\Vert }^2+\lambda ⟨x,y⟩+{\lambda }^{*}⟨y,x⟩+|\lambda {|}^2\Vert y{\Vert }^2\ge 0,$

Sellest võrratusest saab tuletada Cauchy-Schwarzi võrratuse, kui leiame sobiva $\lambda$ väärtuse. Valime $\lambda$ väärtuse nii, et vektori $x+\lambda y$ pikkus võimalikult väike oleks. Sobivaks $\lambda$ väärtuseks osutub

$\lambda =-\frac{⟨y,x⟩}{\Vert y{\Vert }^2}.$

Asendades $\lambda$ esimesse võrratusse näeme, et

$\Vert x+\lambda y{\Vert }^2=\Vert x{\Vert }^2-|⟨x,y⟩{|}^2\Vert y{\Vert }^{-2}\ge 0.$

Korrutades saadud võrratuse läbi vektori y pikkuse ruuduga ja viies skalaarkorrutise teisele poole võrratuse märki, leiame, et

$\Vert x{\Vert }^2\Vert y{\Vert }^2\ge |⟨x,y⟩{|}^2,$

millest ruutjuure võtmine annab Cauchy-Schwarzi võrratuse. Märkigem, et võrdus realiseerub parajasti siis, kui $\Vert x+\lambda y\Vert =0$, mis tähendab, et x = -$\lambda$ y ehk x ja y on lineaarselt sõltuvad.

Vaata ka

• Hölderi võrratus – Cauchy-Schwarzi võrratuse üldistus