Astmehulk

Astmehulga {x, y, z} elemendid kaasaarvamise järjekorras.

Astmehulk ehk potentshulk on matemaatikas hulk, mis koosneb antud hulga $S$ kõigist alamhulkadest (kaasa arvatud tühi hulk ja hulk $S$ ise).Mall:Sfn

Zermelo-Fraenkeli aksiomaatikas postuleerib astmehulga olemasolu astmehulga aksioom, mille järgi igal hulgal on olemas astmehulk.Mall:Sfn

Hulga $S$ astmehulka tähistatakse kujul Mall:Math, Mall:Math, $\mathbb{P}(S)$, $\mathrm{\wp }(S)$ või Mall:Math. Tähis Mall:Math tähistab õigupoolest hulka, mille elemendid on kõik funktsioonid hulgast $S$ mõnda kahe elemendiga hulka (näiteks $\{0,1\}$); seda kasutatakse sellepärast, et hulga $S$ astmehulk on selle funktsioonide hulgaga võrdvõimas.Mall:Sfn

Näide

Kui $S$ on hulk $\{x,y,z\}$, siis kõik $S$-i alamhulgad on:

• $\{\}$ (märgitud ka kui $\varnothing$ või $\mathrm{\varnothing }$, tühi hulk või nullhulk)
• $\{x\}$
• $\{y\}$
• $\{z\}$
• $\{x,y\}$
• $\{x,z\}$
• $\{y,z\}$
• $\{x,y,z\}$

Seega on hulga $S$ astmehulk $\{\{\},\{x\},\{y\},\{z\},\{x,y\},\{x,z\},\{y,z\},\{x,y,z\}\}$

Omadused

Kui $S$ on lõplik hulk võimsusega $|S|=n$ (hulga $S$ elementide arv on $n$), siis on hulga $S$ kõigi alamhulkade arv $|\mathbb{P}(S)|=2^n$.Mall:Sfn

Cantori diagonaaltõestus näitab, et hulga astmehulk (olgu hulk lõpmatu või mitte) on alati suurema võimsusega kui hulk ise, mis tähendab, et astmehulk on alati suurem kui hulk ise.

Hulga $S$ astmehulk koos ühendi, ühisosa ja täiendi tehetega on algeline näide Boole'i algebrast.

Seos indikaatorfunktsiooniga

Indikaatorfunktsioon hulga $S$ alamhulga $A$ puhul on funktsioon hulgast $S$ kahe elemendiga hulka $\{0,1\}$, mida tähistatakse kui $I_A:S\to \{0,1\}$. Selline funktsioon näitab seda, kas hulga $S$ element kuulub alamhulka $A$ või mitte. Kui hulga $S$ element $x$ kuulub alamhulka $A$, siis $I_A(x)=1$, ning muul juhul $0$. Iga hulga $S$ alamhulga $A$ puhul eksisteerib indikaatorfunktsioon $I_A$. Kirjapilt $X^Y$ tähistab hulgateoorias hulka, mis sisaldab kõiki funktsioone hulgast $Y$ hulka $X$. Hulk $\{0,1{\}}^S$, mis koosneb seega igast funktsioonist hulgast $S$ hulka $\{0,1\}$, koosneb kõigi hulga $S$ alamhulkade indikaatorfunktsioonidest. Teisisõnu on $\{0,1{\}}^S$ vastavuses ehk bijektiivne astmehulgaga $\mathbb{P}(S)$. Kuna iga element hulgast $S$ vastab kas arvule $0$ või $1$ mistahes funktsiooni puhul hulgast $\{0,1{\}}^S$, omab see funktsioonide hulk võimsust $2^n$. Kuna arv $2$ võib olla hulgateoorias defineeritud kui $\{0,1\}$ (näiteks von Neumanni ordinaalarvude puhul), kirjutatakse $\mathbb{P}(S)$ ka kui $2^S$. Seega on samuti tõene, et$|2^S|=2^{|S|}$.

Kirjandus

• Mall:Cite book
• Mall:Cite book
• Mall:Citation
• Mall:Cite book
• Mall:Cite web