Laplace teisendus

Laplace'i teisendus on funktsiooni integraalteisendus, mis teisendab ajadomeeni funktsiooni $f(t)$, kus muutuja $t\in$ $[0,\mathrm{\infty })$ Laplace'i sagedusdomeeni funktsiooniks $F(s)$, kus s on kompleksarv $s=\sigma +j\omega$, $\sigma$ on reaalosa ning $\omega$ imaginaarosa. Kõnealune teisendus on nimetatud Laplace’i teisenduseks prantsuse matemaatiku, füüsiku ja astronoomi Pierre-Simon Laplace’i (1749−1827) auks, kes kasutas seda teisendust esmakordselt oma tõenäosusteooria alases töös aastal 1782.

Laplace'i teisendus on tööriist, mida kasutatakse palju inseneriteaduses. Dünaamilist juhtimissüsteemi, olgu see siis elektriline, mehaaniline, termiline, hüdrauliline jne, saab esitada diferentsiaalvõrrand<iga. Süsteemi diferentsiaalvõrrand tuletatakse süsteemi reguleerivate füüsikaliste seaduste järgi. Süsteemi kirjeldava diferentsiaalvõrrandi lahendamise hõlbustamiseks teisendatakse võrrand algebralisele kujule. See teisendus tehakse Laplace'i teisendustehnika abil. Laplace'i pöördteisenduse abil saab teisendada sagedusdomeeni funktsiooni tagasi ajadomeeni funktsiooniks. Laplace'i teisendust kasutatakse palju juhtimissüsteemides ja robootikas, samuti signaalitöötluses ja elektroonikas.

Laplace'i teisendamisel tehtavad sammud

Definitsioon

Teisendust kujul

$F(s)=ℒ[f(t)]=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)e^{-st}dt,$

mis seab funktsioonile $f$ vastavusse funktsiooni $F$, nimetatakse funktsiooni $f$ Laplace’i teisenduseks.

Kui eksisteerib lõplik piirväärtus

$\underset{\tau \to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{0}{\overset{\tau }{\int }}{e}^{-st}f(t)dt$,

siis integraal

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-st}f(t)dt$

koondub ja funktsioonil on olemas Laplace'i teisendus, vastasel juhul integraal hajub ja funktsioonil ei ole Laplace'i teisendust.

Oluline on tähele panna, et Laplace'i teisendus on defineeritud ainult $t⩾0,s⩾0$ korral.

Tingimused

Laplace'i teisendus eksisteerib ainult teatud funktsioonide klassil ja sellesse klassi kuuluvaid funktsioone nimetatakse originaalideks. Funktsiooni $f$ nimetatakse originaaliks, kui see rahuldab järgmisi tingimusi:

Tükiti pideva funktsiooni graafik.

1. Funktsioon on tükiti pidev lõigus [$a,b$], kui leidub lõplik jaotus osalõikudeks punktidega $a={\kappa }_1<{\kappa }_2<...<{\kappa }_n=b$, $(n\in \mathbb{N})$ nii, et igas vahemikus (${\kappa }_i,{\kappa }_{i+1}$) on funktsioon $f$ pidev ja punktid ${\kappa }_i$, $i\in \{1,...,n\}$, on funktsiooni $f$ katkevuspunktideks. Funktsioon $f$ on tükiti pidev poollõigus [$0,\mathrm{\infty }$), kui ta on iga $N>0$ korral tükiti pidev lõigus [$0,N$].

2. Funktsioon $f$ on eksponentsiaalse kasvuga $\sigma$ poollõigus [$0,\mathrm{\infty }$), kui leiduvad konstandid $M>0$ ja $\sigma ⩾0$ nii, et iga $t⩾0$ korral

$|f(t)|⩽M{e}^{\sigma t}$.

Omadused

Allpool on välja toodud mõned Laplace'i teisenduse omadused.

Olgu meil funktsioonid $f(t)$ ja $g(t)$, millel leiduvad vastavad Laplace'i teisendused $F(s)$ ja $G(s)$. Teisendustele rakenduvad järgmised omadused:

1. Lineaarsus.

$af(t)+bg(t)⟷aF(s)+bG(s)$;

2. Diferentseerimine.

$f^{(n)}(t)⟷s^{n}F(s)-\sum _{k=1}^n{s}^{n-k}{f}^{(k-1)}(0)$

3. Integreerimine.

$\underset{0}{\overset{t}{\int }}f(x)dx⟷\frac{1}{s}F(s)$

4. Korrutamine.

$f(t)g(t)⟷\frac{1}{2\pi j}F(s)\ast G(s)$

5. Konvolutsioon.

$f(t)\ast g(t)⟷F(s)G(s)$

Põhifunktsioonide teisendus

Laplace'i teisendus integraalina $\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f\left(t\right)\cdot e^{(-s\cdot t)}dt$, kus $f\left(t\right)=t$, $s=0.55$ ning joonealune pindala on $3.306$ ning Laplace'i teisendus kujul $F(s)=\frac{1}{s^2}$. Graafikul on näha, et punkti koordinaatideks on $(s,(F(s))$.

Järgnev tabel näitab kõige levinumate funktsioonide Laplace'i teisendusi.

Laplace'i teisendused

Funktsioon $f$	Laplace'i teisendus $ℒ[f](s)$
$1$	$\frac{1}{s}$
$t$	$\frac{1}{s^2}$
$t^n$	$\frac{n!}{s^{n+1}}$ , $n\in \mathbb{Z}$
$e^{at}$	$\frac{1}{s-a}$
$\cos (at)$	$\frac{s}{s^2+a^2}$
$\sin (at)$	$\frac{a}{s^2+a^2}$
$\cosh (at)$	$\frac{s}{s^2-a^2}$
$\sinh (at)$	$\frac{a}{s^2-a^2}$
$e^{-at}\cos (bt)$	$\frac{b}{(s-a{)}^2+b^2}$
$e^{-at}\sin (bt)$	$\frac{s-a}{(s-a{)}^2+b^2}$
$\delta (t)$	$1$