Võrdtempereeritud 12-helisüsteem

Võrdtempereeritud 12-helisüsteem, lühend 12vjo ("kaheteistkümneks võrdseks [osaks] jagatud oktav"), ka võrdtempereeritud häälestus on muusikas helisüsteem, milles oktav jagatakse kaheteistkümneks võrdseks pooltooniks sagedussuhtega

$\frac{f_2}{f_1}=\sqrt[12]{\frac{2}{1}}\approx 1,05946309$

Võrdtempereeritud 12-helisüsteemis häälestatud muusikainstrumendil ei leidu peale oktavi ühtegi helisageduste naturaalarvulise suhtega puhtas häälestuses intervalli.

Võrdtempereeritud 12-helisüsteemis pooltooni kokkuleppeline suurus on 100 tsenti.

Võrdtempereeritud 12-helisüsteem on muutunud lääne muusikas aktsepteeritavaks tänu sotsiaal-kultuurilisele kokkuleppele.

Ajalugu

Võrdtempereeritud 12-helisüsteemis helikõrguste suhted arvutas esimest korda välja Zhu Zaiyu Hiinas aastal 1584 üheksakohaliste arvude süsteemi abil. Euroopas said need arvutused tuntuks alles aastal 1799, kuid viiteta Zhu Zaiyule. Aastal 1588 pakkus Gioseffo Zarlino välja võrdtempereeritud 12-häälestussüsteemi täpse geomeetrilise esituse. Simon Stevin kirjeldas esimese eurooplasena teoses "Vande Spiegheling der Singconst" (manuskript aastast 1600) arendatumat lahendust juurimise abil, arvates samas ekslikult, et puhtad suured tertsid säilivad.

16. sajandi lauto häälestamine tugines Vincenzo Galilei praktika põhjal pooltoonile suhtega 18:17 (umbes 99 tsenti).

17. sajandil diskuteerisid võrdtempereeritud häälestuse üle teoreetikud (Pietro Mengoli ja Marin Mersenne), heliloojad, muusikainstrumentide ehitajad ning haritud muusikud. Teada on näiteks 1600. aastate alguses toimunud Giovanni Artusi ja Claudio Monteverdi häälestussüsteemide-alane diskussioon. Girolamo Frescobaldi soovitas võrdtempereeritud häälestust Damaso Basilica S. Lorenzo oreli häälestamisel.

Saksa keeleruumis kasutas sõna "võrdtempereeritud" (täpsemalt küll sõna gleichstufig asemel gleichschwebend) Andreas Werckmeister aastal 1707 ilmunud teoses "Musikalische Paradoxal-Discourse": „ ... wenn die Temperatur also eingerichtet wird/daß alle Quinten 1/12 Commat: ... schweben, und ein accurates Ohr dieselbe auch zum Stande zu bringen und zu stimmen weiß/so dann gewiß eine wohltemperirte Harmonia, durch den gantzen Circul und durch alle Clavis sich finden wird.“ Werckmeister ei rõhuta seejuures, et võnkumise sagedussuhted oleksid võrdsed. Tema poolt kirjeldatud võrdtempereeritult häälestamise probleemi võivad näiteks klaverihäälestajad lahendada nii, et kasutavad klaveri häälestamisel erinevas registris erinevaid kvintide sagedussuhteid.

Kuni 18. sajandini oli võrdtempereeritud häälestuse tähtsus vähene. See kasvas aga jätkuvalt pooldajate arvu suurenedes, kelle hulka kuulusid näiteks Jean-Philippe Rameau ja Friedrich Wilhelm Marpurg. 18. sajandi lõpuks võitis võrdtempereeritud häälestus lõplikult "hästi tempereeritud häälestuse" (Wohltemperierte Stimmung) ja pani end lõplikult maksma 19. sajandil.

Võrdtempereeritud häälestusega kaotas uues muusikas tähtsuse eelkõige helistiku karakter, kuna võrdtempereeritud häälestuse korral kõlavad kõik helistikud sarnaselt. Vanamuusika teoste ettekandmisel võrdtempereeritult häälestatud instrumentidel lähevad seetõttu kaduma heliteose olulised kunstilised aspektid, näiteks vanamuusikaheliloojate poolt spetsiaalselt kasutatud halvasti kõlavad "võimatud" helistikud, mille eesmärk oli väljendada muusikas negatiivseid afekte nagu "valu" või "patt".

Tänapäeva muusikainstrumendid (klaver, kitarr) on reeglina häälestatud võrdtempereeritult. Paljud ajaloolised instrumendid (orel, tšembalo) häälestatakse aga historitsistlikel põhjustel võrdtempereerimata häälestussüsteemide põhjal.

Sageduste arvutamine

Võrdtempereeritud häälestuse matemaatiline valem on järgmine:

$f(i)=f_0\cdot 2^{i/12}$,

kus f₀ on näiteks kammertooni võnkesagedus a’ (440 Hz). i on pooltooni kaugus valitud toonist võnkesagedusega f₀. Sellist matemaatilist jada nimetatakse geomeetriliseks jadaks.

Häälestamisel leitakse pooltooni kaugus kammertooni helist (i = – 2, allapoole liikudes) ja saadakse väärtused vastavalt võrrandile:

$f(-2)=440\mathrm{H}\mathrm{z}\cdot 2^{-2/12}\approx 391,995\mathrm{H}\mathrm{z}$

ning helile g’’ mis vastab pooltooni vahekaugusele f₀, kui i = 10:

$f(10)=440\mathrm{H}\mathrm{z}\cdot 2^{10/12}\approx 783,991\mathrm{H}\mathrm{z}$

Nagu näha, vastab g’’ heli g’ kahekordsele võnkesagedusele; seejuures nendevaheline intervall kõlab konsonantselt ka kahe enharmoonilise heli puhul, mis on võrdtempereeritud häälestuse üks põhiomadusi. Võrdtempereeritud häälestuse teine eelis on, et teost võib transponeerida (näiteks Fis-duurist C-duuri), ilma et kuulaja jaoks teose karakteris midagi muutuks (välja arvatud absoluutse kuulmisega isikud).

Võrdtempereeritud häälestuse väärtused tsentides

Heli	C	Cis/Des	D	Dis/Es	E	F	Fis/Ges	G	Gis/As	A	Ais/B	H	C
tsent	0	100	200	300	400	500	600	700	800	900	1000	1100	1200

Järgnev tabel näitab kõigi intervallide väärtusi nii võrdtempereeritud kui ka puhtas häälestuses ja nende erinevust tsentides:

Intervall	Võrdtempereeritud intervall	Puhas intervall	Erinevus (tsent)
priim	$\sqrt[12]{2^0}=1=0\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}$	$\frac{1}{1}=1=0\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}$	0 cent
väike sekund	$\sqrt[12]{2^1}=\sqrt[12]{2}\approx 1,059463=100\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}$	$\frac{16}{15}\approx 1,066667\approx 111,73\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}$	−11,73 cent
suur sekund	$\sqrt[12]{2^2}=\sqrt[6]{2}\approx 1,122462=200\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}$	$\frac{9}{8}=1,125\approx 203,91\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}$	−3,91 cent
väike terts	$\sqrt[12]{2^3}=\sqrt[4]{2}\approx 1,189207=300\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}$	$\frac{6}{5}=1,2\approx 315,64\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}$	−15,64 cent
suur terts	$\sqrt[12]{2^4}=\sqrt[3]{2}\approx 1,259921=400\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}$	$\frac{5}{4}=1,25\approx 386,31\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}$	13,69 cent
kvart	$\sqrt[12]{2^5}=\sqrt[12]{32}\approx 1,334840=500\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}$	$\frac{4}{3}\approx 1,333333\approx 498,04\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}$	1,96 cent
tritoon	$\sqrt[12]{2^6}=\sqrt{2}\approx 1,414214=600\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}$	$\frac{45}{32}=1,40625\approx 590,22\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}$	9,78 cent
kvint	$\sqrt[12]{2^7}=\sqrt[12]{128}\approx 1,498307=700\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}$	$\frac{3}{2}=1,5\approx 701,96\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}$	−1,96 cent
väike sekst	$\sqrt[12]{2^8}=\sqrt[3]{4}\approx 1,587401=800\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}$	$\frac{8}{5}=1,6\approx 813,69\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}$	−13,69 cent
suur sekst	$\sqrt[12]{2^9}=\sqrt[4]{8}\approx 1,681793=900\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}$	$\frac{5}{3}\approx 1,666667\approx 884,36\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}$	15,64 cent
väike septim	$\sqrt[12]{2^{10}}=\sqrt[6]{32}\approx 1,781797=1000\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}$	$\frac{16}{9}\approx 1,777778\approx 996,09\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}$	3,91 cent
suur septim	$\sqrt[12]{2^{11}}=\sqrt[12]{2048}\approx 1,887749=1100\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}$	$\frac{15}{8}=1,875\approx 1088,27\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}$	11,73 cent
oktav	$\sqrt[12]{2^{12}}=2=1200\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}$	$\frac{2}{1}=2=1200\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}$	0 cent
Märkused: Puhaste intervallide puhul on tritoon (suurendatud kvart) defineeritud: suur terts (5/4) pluss täistoon (9/8). Samuti kvint (3/2) miinus diatooniline pooltoon (16/15). Vaata ka puhas häälestus. Kui erinevus on negatiivne, on võrdtempereeritud intervall kitsam kui puhas intervall.

Võrdtempereeritud häälestuses muusikaliste helide võnkesagedused hertsides (a¹ = 440 Hz)

Subkontraoktav

C₂ = 16,353 ; Cis₂ = 17,324 ; D₂ = 18,354 ; Dis₂ = 19,445 ; E₂ = 20,602 ; F₂ = 21,827 ; Fis₂ = 23,125 ; G₂ = 24,5 ; Gis₂ = 25,975 ; A₂ = 27.5 ; Ais₂ = 29,135 ; H₂ = 30,868

Kontraoktav

C₁ = 32,703 ; Cis₁ = 34,648 ; D₁ = 36,708 ; Dis₁ = 38,891 ; E₁ = 41,203 ; F₁ = 43,654 ; Fis₁ = 46,249 ; G₁ = 48,999 ; Gis₁ = 51,913 ; A₁ = 55,0 ; Ais₁ = 58,270 ; H₁ = 61,375

Suur oktav

C = 65,406 ; Cis = 69,296 ; D = 73,416 ; Dis = 77,782 ; E = 82,407 ; F = 87,307 ; Fis = 92,499 ; G = 97,999 ; Gis = 103,83 ; A = 110,0 ; Ais = 116,54 ; H = 123,47

Väike oktav

c = 130,81 ; cis = 138,59 ; d = 146,83 ; dis = 155,56 ; e = 164,81 ; f = 174,61 ; fis = 185,0 ; g = 196,0 ; gis = 207,65 ; a = 220,0 ; ais = 233,08 ; h = 246,94

Esimene oktav

c¹ = 261,63 ; cis¹ = 277,18 ; d¹ = 293,66 ; dis¹ = 311,13 ; e¹ = 329,63 ; f¹ = 349,23 ; fis¹ = 369,99 ; g¹ = 392,0 ; gis¹ = 415,30 ; a¹ = 440,0 ; ais¹ = 466,16 ; h¹ = 493,88

Teine oktav

c² = 523,25 ; cis² = 554,37 ; d² = 587,33 ; dis² = 622,25 ; e² = 659,26 ; f² = 698,46 ; fis² = 739,99 ; g² = 783,99 ; gis² = 830,61 ; a² = 880,0 ; ais² = 932,33 ; h² = 987,77

Kolmas oktav

c³ = 1046,5 ; cis³ = 1108,7 ; d³ = 1174,7 ; dis³ = 1244,5 ; e³ = 1318,5 ; f³ = 1396,9 ; fis³ = 1480,0 ; g³ = 1568,0 ; gis³ = 1661,2 ; a³ = 1760,0 ; ais³ = 1864,7 ; h³ = 1975,5

Neljas oktav

c⁴ = 2093,0 ; cis⁴ = 2217,5 ; d⁴ = 2349,3 ; dis⁴ = 2489,0 ; e⁴ = 2637,0 ; f⁴ = 2793,8 ; fis⁴ = 2960,0 ; g⁴ = 3136,0 ; gis⁴ = 3322,4 ; a⁴ = 3520,0 ; ais⁴ = 3729,3 ; h⁴ = 3951,1

Viies oktav

c⁵ = 4186,0 ; cis⁵ = 4434,9 ; d⁵ = 4698,6 ; dis⁵ = 4978,0 ; e⁵ = 5274,0 ; f⁵ = 5587,7 ; fis⁵ = 5919,9 ; g⁵ = 6271,9 ; gis⁵ = 6644,9 ; a⁵ = 7040,0 ; ais⁵ = 7458,6 ; h⁵ = 7902,1

Vaata ka

• Pythagorase komma
• Kvindiring
• Tsent

Kirjandus

• Mark Lindley: Stimmung und Temperatur, in Frieder Zaminer (Hrsg.): Geschichte der Musiktheorie, Bd. 6. Hören Messen und Rechnen in der frühen Neuzeit, S. 109–332, Darmstadt 1987