Struktuurisemiootika

Struktuurisemiootika (inglise keeles semiotics of the structure) on diskreetsete, graafide kujul esitatavate objektide (süsteemide) struktuurseid omadusi uuriv valdkond.

See sai alguse 20. sajandi lõpul kui Eesti ja India uurimisrühmade poolt viljeletav uurimissuund graafiteooria ja semiootika piirimail . Uuritakse graafide identifitseerimise ja süstematiseerimisega ning graafi struktuuri ja sümmeetriaga seotud probleeme . Semiootika roll seisneb siin struktuursete invariantide interpreteerimises. Tähelepanu väärib graafi paljuaspektilisus.

Struktuurisemiootika on seotud graafi invariantide, kanoonilise esituse, isomorfismi , täiendi, regulaarsuste, sümmeetriaomaduste, orbiitide, taastatavuse , juhuslikkuse jt probleemidega. Struktuurisemiootika on leidnud rakendust reaalsete objektide struktuuri uurimisel

On koostatud teavik uurimisrühmade tööst .

Struktuurisemiootika põhipostulaadid

1. Struktuur on diskreetse objekti elementidevahelist seostatust ehk organiseeritust iseloomustav atribuut. Struktuur on kujutatav graafina $G$. Isomorfsetel graafidel on ühesugune struktuur $GS$.

2. Semiootika roll seisneb siin struktuursete invariantide identifitseerimises ja interpreteerimises.

3. Binaarmärgid identifitseerivad struktuurisisesed binaarsuhted $r_{ij}$ rühma $AutG$ tipupaari- ehk binaarorbiitide ${\mathrm{\Omega }}_n$ täpsusega. Rühma orbiidid kujutavad endast ekvivalentsusklasse, mis iseloomustavad selle elementide positsioone struktuuris. Binaarmärkideks on ka graafi seosmaatriksite astendamise $E^n$ puhul teatud astmeni $n$ saadavadte elementide $e_{i,j}^n$ erinevad väärtused, mis samuti eristavad vastavaid sümmeetriaklasse ehk positsioone.

4. Positsioonid (orbiidid) $\mathrm{\Omega }$ on struktuuri olulisemad osised, nende arv ja suurus määravad struktuuri sümmeetriaomadused, võimaldavad neid klassifitseerida ja avavad struktuuri "varjatud külgi" ..

5. Struktuurimudel SM on binaarmärkide korrastatud süsteem, mis tuvastab struktuuri binaarpositsioonide ja isomorfismi täpsusega. Struktuurimudeliiks on ka graafi seosmaatriksite korrutise $E^n$ teatud aste $n$.

6. Struktuurne ekvivalentsus ja graafide isomorfism. Kui erinevad graafid $G_A$ja $G_B$ omavad ekvivalentseid struktuurimudeleid $SM$, siis on struktuurid $G{S}_A$ ja $G{S}_B$ ekvivalentsed ja vastavad graafid on isomorfsed $G_A\simeq G_B$.

7. Naaberstruktuur. Binaarpositsiooni ${\mathrm{\Omega }}_n$ raames teostatud seose $e_{ij}$ disjunktiivsel eemaldamisel {$G\setminus e_1\vee$… $\vee G\setminus e_q$}${}_n$ või lisamisel {$G\cup e_1\vee$…$\vee G\cup e_q$}${}_n$ saadavad suurimad alamgraafid $G^{sub}$ või väikseimad ülemgraafid $G^{sup}$ on isomorfsed ning kujutavad vastavalt naaber alamstruktuuri $G{S}_n^{sub}$ või naaber ülemstruktuuri $G{S}_n^{sup}$.

8. Morfism. Binaarpositsiooni ${\mathrm{\Omega }}_n$ raames teostatud disjunktiivset operatsiooni, mis muudab struktuuri $GS$ tema naaberstruktuuriks $G{S}_n^{adj}$ kujutab endast morfismi $F_n=GS\to G{S}_n^{adj}$. Morfism on pöörduv, $F_n^{rev}$, igal naaberstruktuuril $G{S}_n^{adj}$ on "pöördpositsioon" ${\mathrm{\Omega }}_n^{rev}$, millele rakendatud morfism $F_n^{rev}$ taastab lähtestruktuuri, $F_n^{rev}=G{S}_n^{adj}\to GS$. Morfismi tõenäosus $P{F}_n$ sõltub positsiooni (orbiidi) võimsusest ja vastavate binaaride arvust struktuuris.

9. Lahutatavus (teisendatavus) ja taastatavus. Kui morfismid $F_n=GS\to G{S}_n^{adj}$ on disjunktiivselt $F_1\vee$… $\vee F_n\vee$ … $\vee F_N$ rakendatud struktuuri $GS$ binaarpositsioonidele ${\mathrm{\Omega }}_1$,…,${\mathrm{\Omega }}_n$,…,${\mathrm{\Omega }}_N$, siis on struktuur $GS$ lahutatud (teisendatud) oma naaberstruktuurideks $G{S}_n^{adj}$. Morfismi pöörduvus $F_n^{rev}$ tagab struktuuri taastatavuse (rekonstrueeritavuse) oma naaberstruktuuride binaarpositsioonide ${\mathrm{\Omega }}_n^{rev}$ baasi, (mis ei tähenda, et tingimata samade seos-operatsioonide baasil). Struktuuri taastatavus on lahutatavuse (teisendatavuse) pöördoperatsioon.

10. Naaberstruktuuride jada ja süsteem. Naaberstruktuuride jada $SF$ muudab struktuuri mingiks tema alam- või ülemstruktuuriks. Struktuurimuutus võib toimuda ka naaberstruktuuri jadade parve näol. Naaberstruktuuride jadade parv tühistruktuuri $G{S}^{empt}$ ja täisstruktuuri $G{S}^{comp}$ vahel kujutab endast kõikide n-elemendiliste struktuuride süsteemi $𝔊=(GS,F)$ .

Kokkuvõte

Struktuur on isomorfsete graafide täielik invariant. Binaarsuhete süvaidentifitseerimise teel saadud struktuurimudel tuvastab struktuuri binaarpositsioonide ja isomorfismi täpsusega. Struktuuri lahutatavus (teisendatavus) binaarpositsioonide baasil naaberstruktuurideks ja taastatavus naaberstruktuuride baasil on võrdväärsed vastandoperatsioonid. Mitteisomorfsete n-tipuliste graafide (st struktuuride) hulgad moodustavad korrektseid süsteeme, kus oluline roll on ülemineku- ja olekutõenäosustel. Struktuurisemiootika avardab arusaamisi struktuurist ja graafidest.

Struktuurisemiootika postulaadid 4, 6, 7, 9 ja 10 on loodusseadused. Ka looduse-, kultuuri- ja teisedki ilmingud omavad struktuuri ning on struktuurisemiootiliselt käsitletavad .

Vaata ka

• Graafide identifitseerimine
• Graafide süsteem
• Graafi kanooniline esitus
• Graafi paljuaspektilisus

Välislingid

• John Teveti eestikeelne ülevaade (pdf)
• Dharwadkeri matemaatikainstituut
• Graafide identifitseerimise ja süstematiseerimise alused (pdf)