Runge-Kutta meetodid

Runge-Kutta meetodid on arvutusmatemaatikas algoritmide pere harilike diferentsiaalvõrrandite (ja harilike diferentsiaalvõrrandite süsteemide) ilmutatud või ilmutamata ligikaudse lahendi numbriliseks leidmiseks algtingimustega ülesande korral. Nad põhinevad iteratsioonil.

Meetodi algse kuju töötas välja saksa matemaatik Carl Runge 1895 ning seda üldistas Martin Wilhelm Kutta 1901.

Klassikaline 4. järku Runge-Kutta meetod

Mall:Vaata 4. järku klassikaline Runge-Kutta meetod on nii laialt levinud, et seda nimetatakse sageli lihtsalt Runge-Kutta meetodiks.

Olgu meil Cauchy ülesanne ${\mathbf{\text{y}}}^{\prime }=\mathbf{\text{f}}(x,\mathbf{\text{y}}),\mathbf{\text{y}}(x_0)={\mathbf{\text{y}}}_0$. Siis funktsiooni väärtus järgmises punktis arvutatakse järgmise valemi järgi:

${\mathbf{\text{y}}}_{n+1}={\mathbf{\text{y}}}_n+\frac{h}{6}({\mathbf{\text{k}}}_1+2{\mathbf{\text{k}}}_2+2{\mathbf{\text{k}}}_3+{\mathbf{\text{k}}}_4)$

kus

${\mathbf{\text{k}}}_1=\mathbf{\text{f}}(x_n,{\mathbf{\text{y}}}_n),$

${\mathbf{\text{k}}}_2=\mathbf{\text{f}}(x_n+\frac{h}{2},{\mathbf{\text{y}}}_n+\frac{h}{2}{\mathbf{\text{k}}}_1),$

${\mathbf{\text{k}}}_3=\mathbf{\text{f}}(x_n+\frac{h}{2},{\mathbf{\text{y}}}_n+\frac{h}{2}{\mathbf{\text{k}}}_2),$

${\mathbf{\text{k}}}_4=\mathbf{\text{f}}(x_n+h,{\mathbf{\text{y}}}_n+h{\mathbf{\text{k}}}_3),$

$h$ — võrgu sammu suurus $x$ järgi.

See meetod on 4. järku, st viga igal sammul on $O(h^5)$ ja summaarne viga integreerimise lõppintervallil on $O(h^4)$.

Otsesed Runge-Kutta meetodid

Otseste Runge-Kutta meetodite pere on 4. järku Runge-Kutta meetodi üldistus. See on antud valemitega

${\mathbf{\text{y}}}_{n+1}={\mathbf{\text{y}}}_n+h\sum _{i=1}^s{b}_i{\mathbf{\text{k}}}_i,$

kus

${\mathbf{\text{k}}}_1=f(x_n,{\mathbf{\text{y}}}_n),$

${\mathbf{\text{k}}}_2=f(x_n+c_{2}h,{\mathbf{\text{y}}}_n+a_{21}h{\mathbf{\text{k}}}_1),$

${\mathbf{\text{k}}}_3=f(x_n+c_{3}h,{\mathbf{\text{y}}}_n+a_{31}h{\mathbf{\text{k}}}_1+a_{32}h{\mathbf{\text{k}}}_2),$

$⋮$

${\mathbf{\text{k}}}_s=f(x_n+c_{s}h,{\mathbf{\text{y}}}_n+a_{s1}h{\mathbf{\text{k}}}_1+a_{s2}h{\mathbf{\text{k}}}_2+\cdots +a_{s,s-1}h{\mathbf{\text{k}}}_{s-1}).$

Konkreetse meetodi määravad arv $s$ ning koefitsiendid $b_i,a_{ij}$ ja $c_i$. Need koefitsiendid paigutatakse sageli tabelisse

	0
	$c_2$	$a_{21}$
	$c_3$	$a_{31}$	$a_{32}$
	$⋮$	$⋮$		$\ddots$
	$c_s$	$a_{s1}$	$a_{s2}$	$\cdots$	$a_{s,s-1}$
		$b_1$	$b_2$	$\cdots$	$b_{s-1}$	$b_s$

Runge-Kutta meetodi koefitsiendid peavad rahuldama tingimusi $\sum _{j=1}^{i-1}{a}_{ij}=c_i$ ($i=2,\dots ,s$). Kui me tahame, et meetod oleks $p$-järku, siis tuleb tagada ka tingimus $\overline{\mathbf{\text{y}}}(h+x_0)-\mathbf{\text{y}}(h+x_0)=O(h^{p+1})$, kus $\overline{\mathbf{\text{y}}}(h+x_0)$ on Runge-Kutta meetodil saadud lähendus. Pärast mitmekordset diferentseerimist muutub see tingimus polünomiaalvõrrandite süsteemiks, mille lahendid on meetodi koefitsiendid.

Vaata ka

• Newmarki meetod
• Euleri meetod

Kirjandus

• Carl Runge. Über die numerische Auflösung von Differentialgleichungen. – Mathematische Annalen, kd 46, 1895, lk 167–178.