Rühma toime

Matemaatikas kuuluvad rühma toime juurde rühm $(G,*)$ "aktiivse" osana ja hulk "passiivse" osana. Elemendi $g\in G$ toime hulgal $X$ on selle hulga teisendus. Seejuures toimivad elemendid $g,h\in G$ hulga $X$ elementidel nii, et korrutise $g*h$ toime vastab kummagi toime järjestikusele rakendamisele (toimete kompositsioonile).

Toimivat rühma $G$ nimetatakse teisenduste rühmaks. Hulka $X$ koos rühma $G$ toimega hulgal $X$ nimetatakse $G$-hulgaks.

Kui hulga $X$ juures on oluline struktuur, olgu siis algebraline, geomeetriline või topoloogiline, peetakse rühma toimet lubatavaks ainult juhul, kui ta säilitab selle struktuuri.

Rühma toime võimaldab algebras, geomeetrias ja teistes matemaatika harudes kirjeldada objektide sümmeetriaid sümmeetriarühmade abil. Siin on esiplaanil selle hulga uurimine, millel hulk toimib. Teiselt poolt võib etteantud rühma toime sobivalt valitud hulkadel anda rühmateoorias olulist informatsiooni toimiva rühma struktuuri kohta. Sel juhul on esiplaanil toimiva rühma uurimine.

Sissejuhatav näide: kuubirühm ja kuubi diagonaalid

$ABCDEFGH$ olgu kuubi tipud tavalises tähistuses, st $ABCD$ ja $EFGH$ on vastastahud (esimene pilt). Kuubi pööre ümber telje, mis ühendab nende kahe tahu keskpunkte, (teine pilt) toob kaasa järgmise tippude vahetuse:

$A\mapsto B\mapsto C\mapsto D\mapsto A$   ja samal ajal

$E\mapsto F\mapsto G\mapsto H\mapsto E.$

Pöördega vahetatakse ka (samal ajal) neli kuubi diagonaali, nimelt

$AG\mapsto BH\mapsto CE\mapsto DF\mapsto AG.$

Veel üks sümmeetriakujutus, peegeldus tasandi $ABGH$ suhtes (neljas pilt), jätab kaks diagonaali $AG$ ja $BH$ paigale ning vahetab teised kaks

$CE\mapsto DF$   ja   $DF\mapsto CE.$.

Kuubil on aga ka sümmeetriakujutusi, mis diagonaale omavahel ei vaheta, nimelt peegeldus keskpunkti suhtes (kolmas pilt). See kujutab

$A\mapsto G\mapsto A$   ja samal ajal

$B\mapsto H\mapsto B$   ja samal ajal

$C\mapsto E\mapsto C$   ja samal ajal

$D\mapsto F\mapsto D.$

Seejuures iga diagonaal kujutub iseendaks.

Öeldakse, et kuubi sümmeetriate rühm (kuubirühm ehk oktaeedrirühm) toimib tippude hulgal, servade hulgal, diagonaalide hulgal jne. Järgnevas on vaadeldud toimet diagonaalidele.

Iga diagonaalide paari korral (joonisel paar $CE$ ja $DF$) leidub peegeldus tasandi suhtes, mis vahetab need omavahel ära ning jätab kõik teised diagonaalid paigale, nimelt selle tasandi suhtes, mis sisaldab paigalejäävaid diagonaale. Niisugust ühe paari vahetust nimetatakse transpositsioonks, ja need transpositsioonid tekitavad kogu nelja diagonaali permutatsioonide sümmeetrilise rühma. Et neid permutatsioone on $4!=24$ ning sümmeetriateisendusi, mis jätavad kõik diagonaalid paigale, on kaks (identsusteisendus ja peegeldus punkti suhtes), siis on kuubi sümmeetriateisendusi

$24\cdot 2=48$.

Definitsioon

(Vasakpoolne) toime

Rühma $(G,*)$ (vasakpoolne) toime hulgal $X$ on binaarne tehe

$▹:G\times X\to X;(g,x)\mapsto g▹x,$

järgmiste omadustega:

1. kõikide $x\in X$ korral $e▹x=x$, kus $e$ on rühma $G$ neutraalne element,
2. kõikide $g,h\in G,x\in X$ korral $(g*h)▹x=g▹(h▹x)$.

Siis öeldakse, et rühm $G$ toimib (vasakult) hulgal $X$, ja nimetatakse hulka $X$ koos selle rühma toimega (vasakpoolseks) $G$-hulgaks.

Neist nõudmistest järeldub, et iga $g\in G$ korral on kujutus ${\vartheta }_{g▹}:X\to X;x\mapsto g▹x,$ bijektsioon (pöördteisendus ${\vartheta }_{g▹}^{-1}$ on ${\vartheta }_{g^{-1}▹}:X\to X;x\mapsto g^{-1}▹x$). Sellepärast ei ole rühma elemendi $g$ toime mitte ainult teisendus, vaid hulga $X$ substitutsioon, ja rühma $G$ toimmet hulgal $X$ võib samastada r homomorfismiga rühmast $(G,*)$ sümmeetrilisse rühma $(\mathrm{Sym}(X),\circ )$.

Parempoolne toime

Analoogselt vasakpoolse toimega on parempoolne toime binaarne tehe

$◃:X\times G\to X;(x,g)\mapsto x◃g$,

kus

1. $x◃e=x$ kõikide $x\in X$ korral, kus $e$ on rühma $G$ neutraalne element,
2. $x◃(g*h)=(x◃g)◃h$ kõikide $g,h\in G,x\in X$ korral.

Erinevus vasakpoolsete ja parempoolsete toimete vahel seisneb viisis, kuidas hulgal $X$ toimivad tehted $g*h$. Vasakpoolse toime puhul toimib kõigepealt $h$ ja siis $g$, parempoolse toime puhul on järjekord vastupidine.

Parempoolsest toimest saab konstrueerida vasakpoolse toime, esitades seda vasturühma vasakpoolse toimena või ka pannes rühma elemendi vasakpoolse toime asemele elemendi $g^{-1}$ parempoolse toime. Igale parempoolsele toimele $◃$ vastab vasakpoolne toime

$▹:G\times X\to X;(g,x)\mapsto g▹x:=x◃g^{-1},$

sest

$e▹x=x◃e^{-1}=x◃e=x$

ja

$\begin{array}{cc}(g*h)▹x& =x◃(g*h{)}^{-1}=x◃(h^{-1}*g^{-1})\\ & =(x◃h^{-1})◃g^{-1}=(h▹x)◃g^{-1}=g▹(h▹x).\end{array}$

Analoogselt saab muuta vasakpoolset toimet parempoolseks. Et vasakpoolsel ja parempoolsel toimel ei ole olemuslikku erinevust, siis järgnevalt tuleb juttu ainult vasakpoolsetest toimetest.

Veel mõisteid

Orbiit

Olgu $▹$ rühma $(G,*)$ toime hulgal $X.$ Iga $x\in X$ korral nimetatakse siis hulka

$G▹x:=\{g▹x\mid g\in G\}$

elemendi $x$ orbiidiks. Orbiidid moodustavad hulga $X$ klassijaotuse. Orbiidi elementide arvu (või võimsust) nimetatakse ka orbiidi pikkuseks. Väljavalitud $x_0\in X$ korral nimetatakse eeskirjaga

$g\mapsto g{x}_0$

antud kujutust $G\to X$ orbiidikujutuseks.

Orbiidid on ekvivalentsiklassid ekvivalentsusseose

$x\sim y$

suhtes, mis on defineeritud nii: leidub $g\in G$ nii, et $g▹x=y$.

Ekvivalentsiklasside hulka $G\mathrm{\setminus }X:=\{G▹x\mid x\in X\}$ nimetatakse orbiidiruumiks.

Fundamentaalpiirkond

Olgu $X$ topoloogiline ruum ja $G$ rühm, mis toimib hulgal $X$. Punkti $x\in X$ korral tähistagu $G▹x$ punkti $x$ orbiiti. Siis nimetatakse hulka $F\subset X$ ruumi $X$ fundamentaalpiirkonnaks, kui ühisosa $G▹x\cap F$ on iga $x\in X$ korral on üheelemendiline hulk.

Näide

Ruut on $[0,1)\times [0,1)$ on ruumi ${ℝ}^2$ fundamentaalpiirkond teisenduste rühma ${\mathbb{Z}}^2$ suhtes. Iga punkti $(x,y)\in {ℝ}^2$ saab esitada kujul $(u+m,v+n)$, kus $(m,n):=(\lfloor x\rfloor ,\lfloor y\rfloor )\in {\mathbb{Z}}^2$ ja $(u,v):=(x-m,y-n)\in [0,1)\times [0,1)$.

Transitiivsed ja teravalt transitiivsed toimed

Rühma $G$ toimet $▹$ hulgal $X$ nimetatakse (lihtsalt) transitiivseks või öeldakse "rühm $G$ toimib (lihtsalt) transitiivselt hulgal $X$“, kui iga kahe elemendi $x,y\in X$ puhul leidub $g\in G$ nii, et $g▹x=y$. Sel juhtumil leidub ainult üks orbiit, mis hõlmab kogu hulga $X$. Kui peale selle on rühma element $g$, mille korral $g▹x=y$ kahe suvalise elemendiga $x,y\in X$ üheselt määratud, siis nimetatakse rühma toimet teravalt (lihtsalt) transitiivseks.

Kui ka iga kahe erineva $x_1,x_2\in X$ ja iga kahe erineva $y_1,y_2\in X$ korral leidub rühma element $g\in G$, mille korral $g▹x_1=y_1$ ja $g▹x_2=y_2$, siis nimetatakse rühma toimet kahekordselt transitiivseks ja kui lisaks leidub alati parajasti üks rühma element, millel on see omadus, siis nimetatakse rühma toimet teravalt kahekordselt transitiivseks.