Pseudorühmoid

Pseudorühmoid ehk osaline rühmoid (ka pseudogrupoid, osaline grupoid, pseudomagma, osaline magma, poolrühmoid, poolgrupoid) on universaalalgebra (täpsemalt osaline algebra) $(M,f)$, mis koosneb hulgast $M$ ja sellel defineeritud osalisest binaarsest algebralisest tehtest (osalisest kujutusest $f:M\times M⇝M$).

See on rühmoidi mõiste üldistus; erinevus on ainult selles, et rühmoidi puhul ei tohi tehe olla osaline, pseudorühmoidi puhul aga tohib.

Nagu ka rühmoidi puhul, peab tehe olema kinnine. Midagi muud ei nõuta.

Alampseudorühmoid

Analoogselt rühmoidi alamrühmoidiga ja rühma alamrühmaga saab defineerida pseudorühmoidi alampseudorühmoidi, ent siin tuleb eraldi vaadelda tehte määramispiirkonda.

Olgu $𝑴=(M,*)$ pseudorühmoid. Pseudorühmoidi $𝑼=(U,\circ )$ nimetatakse pseudorühmoidi $𝑴$ alampseudorühmoidiks, kui $U\subseteq M$ ja $\circ =*{|}_{\text{Def}(\circ )}$, st tehe $\circ$ on tehte $*$ ahend tehte $\circ$ määramispiirkonnale $\text{Def}(\circ )\subseteq U\times U$.

Teiste sõnadega, pseudorühmoid $𝑼$ on pseudorühmoidi $𝑴$ alampseudorühmoid, kui $U\subseteq M$ ja

$\text{Def}(\circ )\subseteq \text{Def}(*)\cap U\times U$

ja

$a*b=a\circ b\in U$ kõikide $(a,b)\in \text{Def}(\circ )$ korral.

Rühmoidil $𝑴=(M,*)$ võib olla alampseudorühmoid, mis ei ole alamrühmoid, nimelt juhul, kui

$\text{Def}(\circ )⊊U\times U=\text{Def}(*)\cap U\times U$.

Näide

Olgu $𝑴=(M,*)$ ja $𝑼=(U,\circ )$ pseudorühmoidid, kus $M=\{a,b,c\}$, $U=\{a,b\}$ ing tehete $*$ ja $\circ$ Cayley tabelid on

$*$ a b c a a b - b c b a c c a -

$\circ$ a b a a b b - b

Siis pseudorühmoid $𝑼$ on pseudorühmoidi $𝑴$ alampseudorühmoid.

Märkused:

• Tehte $b*a$ tulem võiks olla suvaline (see võiks ka olla $a$, $b$ või defineerimata), sest $(b,a)\notin \text{Def}(\circ )$.
• Kui oleks nii, et $(a,b)\notin \text{Def}(*)$, siis pseudorühmoid $𝑼$ ei oleks pseudorühmoidi $𝑴$ alampseudorühmoid, sest $(a,b)\in \text{Def}(\circ )$, nii et ei kehtiks $\text{Def}(\circ )\subset \text{Def}(*)\cap U\times U$.

Kinnised alampseudorühmoidid ning pseudorühmoidide laiendid, täielikud laiendid ja lahtised laiendid

Olgu $𝑴=(M,*)$ pseudorühmoid ja $𝑼=(U,\circ )$ selle alampseudorühmoid.

• Alampseudorühmoidi $𝑼$ nimetatakse kinniseks pseudorühmoidis $𝑴$), kui juhul kui $a,b\in U$ ja $(a,b)\in \text{Def}(*)$ ja $a*b=c$, siis $(a,b)\in \text{Def}(\circ )$ ja $a\circ b=c$. Näide:

$*$ a b c a a b - b b - a c c a -

$\circ$ a b a a b b b -

• Pseudorühmoidi $𝑴$ nimetatakse oma alampseudorühmoidi $𝑼$ laiendiks), kui juhul kui $a,b\in M$ ja $(a,b)\in \text{Def}(*)$, siis $a,b\in U$, ja juhul kui $c\in M\wedge c\notin U$, siis $\mathrm{\exists }(a,b)\in U\times U:(a,b)\in \text{Def}(*)\wedge c=a*b$. Näide:

$*$ a b c a a - - b b c - c - - -

$\circ$ a b a a - b b -

• Pseudorühmoidi $𝑼$ laiendit $𝑴$ nimetatakse selle täielikuks laiendiks), kui $\mathrm{\forall }(a,b)\in U\times U:(a,b)\in \text{Def}(*)$. Näide:

$*$ a b c a a b - b b c - c - - -

$\circ$ a b a a - b b -

• Pseudorühmoidi $𝑼$ laiendit $𝑴$ nimetatakse selle lahtiseks laiendiks), kui juhul kui $(a,b)\in \text{Def}(*)$, $a*b=c$ ja $c\in U$, siis $(a,b)\in \text{Def}(\circ )$ ja $a\circ b=c$, ning kui $c\in M\wedge c\notin U$ ja $(a,b)\in \text{Def}(*)\wedge (a^{\prime },b^{\prime })\in \text{Def}(*)\wedge a*b=a^{\prime }*b^{\prime }=c$, siis $a=a^{\prime }\wedge b=b^{\prime }$. Näide:

$*$ a b c d a a - - - b d c - - c - - - - d - - - -

$\circ$ a b a a - b - -

Märkused:

• Iga pseudorühmoid on iseenda kinnine alampseudorühmoid.
• Iga pseudorühmoid on iseenda lahtine laiend.
• Iga pseudorühmoid, mis on iseenda täielik laiend, on rühmoid.
• Pseudorühmoidil, mis ei ole rühmoid, saab olla lahtine laiend, saab olla täielik laiend ning saab olla lahtine ja täielik laiend. Lahtise ja täieliku laiendi näide:

$*$ a b c d e a a e - - - b d c - - - c - - - - - d - - - - - e - - - - -

$\circ$ a b a a - b - -

Arvutamisseadused

Analoogselt rühmoidiga võib pseudorühmoid olla assotsiatsiivne või kommutatiivne, kuid siin tuleb täpsustada määramispiirkonnasse puutuvat. Assotsiatiivsuse ja kommutatiivsuse definitsioonid on niisugused:

• Pseudorühmoid $(M,\circ )$ on assotsiatiivne (ja seda nimetatakse siis ka osaliseks poolrühmaks, kui kõikide $x,y,z\in M$ korral juhul kui $x\circ y\in M$ ja $y\circ z\in M$, siis

1. $x\circ (y\circ z)\in M$ parajasti siis, kui $(x\circ y)\circ z\in M$
2. ja $x\circ (y\circ z)=(x\circ y)\circ z$, kui $x\circ (y\circ z)\in M$ (ning punkti 1. tõttu ka $(x\circ y)\circ z\in M$)

• Pseudorühmoid $(M,\circ )$ on kommutatiivne, kui kõikide $x,y\in M$ korral

1. $x\circ y\in M$ parajasti siis, kui $y\circ x\in M$
2. ja $x\circ y=y\circ x$, kui $x\circ y\in M$ (ning punkti 1. tõttu ka $y\circ x\in M$)

Näited

• Kõik rühmoidid on pseudorühmoidid.
• Kui võtta naturaalarvude hulgal tehteks lahutamine või jagamine ning defineerida see ainult nende naturaalarvude järjestatud paaride jaoks, mille korral vahe või vastavalt jagatis on naturaalarv, saame mitteassotsiatiivse mittekommutatiivse pseudorühmoidi.
• Väikese kategooria morfismide klass on hulk, mis koos morfismide korrutamisega moodustab assotsiatiivse pseudorühmoidi. Enamasti saab pseudorühmoidi moodustada ka morfismide klassil.
• Mis tahes kujutuste hulk S koos kujutuste korrutamisega $\circ :M\times M\to M,(\mathrm{f},\mathrm{g})\mapsto \mathrm{f}\circ \mathrm{g}$ moodustab assotsiatiivse pseudorühmoidi $(M,\circ ).$

• Formaalne keel koos konkatenatsiooniga moodustab assotsiatiivse pseudorühmoidi. Tähestiku Kleene kate on poolrühm (isegi monoid), sest konkatenatsioon on sellel kinnine tehe. Formaalne keel on aga selle suvaline alamhulk, millel konkatenatsioon üldjuhul ei ole kinnine.

Kirjandus

• Yoshifumi Inui, François Le Gall. Quantum Property Testing of Group Solvability, lk 2.