Pikkus (matemaatika)

Mall:See artikkel Pikkuseks nimetatakse matemaatikas lõigu, tee (joone) või kõverjoone ulatust iseloomustavat arvu.

Lõigu pikkus

Kui $A$ ja $B$ on kaks reaaltasandi (${ℝ}^2$) punkti koordinaatidega $A(a_1|a_2)$ ja $B(b_1|b_2)$, siis Pythagorase teoreemi järgi lõigu $AB$ pikkus

$\overline{AB}=\sqrt{(b_1-a_1{)}^2+(b_2-a_2{)}^2}.$

Kolmemõõtmelises näitlikus ruumis punktide korral koordinaatidega vastavalt $A(a_1|a_2|a_3)$ ja $B(b_1|b_2|b_3)$

$\overline{AB}=\sqrt{(b_1-a_1{)}^2+(b_2-a_2{)}^2+(b_3-a_3{)}^2}.$

Selliste valemite üldistamiseks on kaks vaateviisi:

• Lõigu $AB$ pikkust tõlgendatakse vektori $\overrightarrow{AB}$ pikkusena ja defineeritakse vektorite pikkused. Vastavat üldistatud pikkusemõistet vektorruumi vektorite puhul nimetatakse normiks.
• Veel üldisema lähenemise puhul vaadetakse lõikude pikkuste asemel otspunktide vahelisi kaugusi. Üldisi kaugusemõisteid nimetatakse meetrikateks.

Tee (joone) pikkus

Tee on pidev kujutus $\gamma :[a,b]\to X$ lõigust topoloogilisse ruumi $X$. Et teedele saaks omistada pikkuse, peab sel ruumil siiski olema lisastruktuur. (Mõnikord nimetatakse tee pikkuseks lõigu pikkust, siis mõistetakse pikkust teisiti.) Kõige lihtsamal juhul on $X$ tasand ${ℝ}^2$ või ruum ${ℝ}^3$ tavalise lõikude pikkuse mõistega; üldistused on võimalikud Riemanni ruumide ja suvaliste meetriliste ruumide puhul. Tee $\gamma$ pikkust tähistatakse siis $L(\gamma )$.

Jooned tasandil ja ruumis

Joon tasandil või ruumis on antud kahe või vastavalt kolme koordinaadifunktsiooniga:

$t\mapsto (x(t),y(t))$ bzw. $t\mapsto (x(t),y(t),z(t))$ für $a\le t\le b$.

Tükati sileda joone pikkus on antud integraaliga üle tuletisvektori pikkuse:

$L=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\sqrt{\dot{x}(t{)}^2+\dot{y}(t{)}^2}\mathrm{d}t$ või $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\sqrt{\dot{x}(t{)}^2+\dot{y}(t{)}^2+\dot{z}(t{)}^2}\mathrm{d}t.$