Lihtne juhuslik valik

Lihtne juhuslik valik on selline valikuprotseduur, kus kõik $n$-mahulised valimid $N$-mahulisest üldkogumist on võrdtõenäosed.

Eristatakse kahte liiki lihtsat juhuslikku valikut: tagasipanekuta ja tagasipanekuga valik. Esimesel juhul valitud objekt eemaldatakse üldkogumist, teisel juhul mitte.

Lihtne juhuslik valik tagasipanekuta

Olgu üldkogum $U=\{1,2,\dots ,N\}$.Kõigi $n$ mahuliste valimite arv, mida $U$-st saab moodustada on $M=C_N^n$. Olgu $S=\{s_1,\dots ,s_M\}$ kõigi võimalike valimite hulk.

Lihtsa juhusliku valiku korral on kaasamistõenäosus järgmine:

           ${\pi }_i=\frac{n}{N}\mathrm{\forall }i$

ning teist järku kaasamistõenäosus on

           ${\pi }_{ij}=\frac{n(n-1)}{N(N-1)}\mathrm{\forall }i\ne j$

Valimi genereerimise võimalused

Definitsiooni järgi

Loetleda kõikvõimalikud valimid mahuga $n$ (selliseid võimalusi on $C_N^n$) ja siis valida üks valim võrdse tõenäosusega.

Tõmbeviis (elemendid on nummerdatud)

1. $i=1\Rightarrow$ valime tõenäosusega $1/N$ ja eemaldame üldkogumist;
2. $i=2,...,n\Rightarrow$ valime tõenäosusega $\frac{1}{N-(i-1)}$ ja eemaldame iga kord üldkogumist.

Loeteluviis (tulemuseks on vektorvalim)

$\mathrm{\forall }i=1,...,N$ seame vastavusse juhusliku arvu $u_i\sim U(0,1)$.

1. $i=1$: kui $u_1<n/N$, siis 1. element on valimis
2. $i=2,...,N$: kui $u_i<\frac{n-n_i}{N-i+1}$, siis $i.$s element on valimis.

Siin $n_i$ on elementide arv, mis on valitud üldkogumi esimese $i-1$ objekti seast.

Järjestusvalik

1. $\mathrm{\forall }i=1,...,N$ seame vastavusse juhuslikud arvud $u_1,...,u_N,u_i\sim U(0,1)$.
2. Järjestame üldkogumi objektid ümber $u_i$ järgi kasvavalt: $u_{(i_1)}<u_{(i_2)}<...<u_{(i_N)}.$
3. Võtame valimisse esimest $n$ objekti.

Kogusumma hinnang ja hinnangu dispersioon

Lihtsa juhusliku valiku korral avaldub kogusumma $t=\sum _U{y}_i$ nihketa hinnang kujul

           $\hat{t}=N\bar{y},$ 

kus $\bar{y}=\sum _s{y}_i$ on valimi keskmine.

Kogusumma hinnangu dispersioon on

           $D(\hat{t})=N^2(1-f)S_{yU}^2/n$

ja dispersiooni hinnang on

           $\hat{D}(\hat{t})=N^2(1-f)S_{ys}^2/n,$

kusjuures $f=\frac{n}{N}$ on valikusuhe,

           $S_{yU}^2=\frac{1}{N-1}\sum _U(y_i-\bar{Y}{)}^2$

on tunnuse $y$ dispersioon üldkogumis ja

           $S_{ys}^2=\frac{1}{n-1}\sum _s(y_i-\bar{y}{)}^2$

on tunnuse $y$ dispersioon valimis.

Keskmise hinnang ja hinnangu dispersioon

Lihtsa juhusliku valiku korral avaldub keskmine $\bar{Y}=\frac{Y}{N}$ nihketa hinnang kujul

           $\hat{\bar{Y}}=\frac{1}{n}\sum _s{y}_i=\bar{y}.$

Valimi keskmise dispersiooni ja dispersiooni hinnangu avaldised on järgmised:

           $D\hat{\bar{y}}=(1-f)S_{yU}^2/n,$
           $\hat{D}\hat{\bar{y}}=(1-f)S_{ys}^2/n$.

Lihtne juhuslik valik tagasipanekuga

Tagasipanekuga disainide korral objektid võivad sattuda valimisse korduvalt, seetõttu on valikuindikaator $I_i$ juhuslik suurus, mille realisatsioonid võivad olla hulgast $\{0,1,2,..\}$.

Valimi genereerimise võimalused

Praktikas on väga levinud kahte tüüpi tagasipanekuga disainid: multinoomiaal- ja hüpergeomeetriline disain. [konspekt]

Multinominaaldisain

1. Valikutõenäosused $p_i$ on fikseeritud iga $i$ jaoks, $i\in U$ kogu valikuprotsessis,$\sum _{i=1}^N{p}_i=1$.
2. Objekt valitakse vastavalt $p_i$-le, registreeritakse ja seejärel pannakse tagasi üldkogumisse.
3. Protsessi korratakse $n$ korda (kuni valim on käes).

Hüpergeometriline disain

Iga element saab olla valitud kuni $m_i$ korda.

Olgu $m=\sum _{i=1}^N{m}_i$.

Tähistame $I\sim HG(n;m_1,m_2,...,m_N)$, kus jaotuse tõenäosusfunktsioon on järgmine: $p(k)=P(I=k)=\frac{\prod _{i=1}^N{C}_{m_i}^{k_i}}{C_m^n}$ , kui $|k|=n$.

Kogusumma hinnang ja hinnangu dispersioon

Lihtsa juhusliku valiku tagasipanekuga korral nihketa hinnang üldkogumi kogusummale $t=\sum _U{y}_i$ avaldub järgmiselt:

           $\hat{t}=N\bar{y}.$

Hinnangu $\hat{t}$ dispersioon on järgmine:

           $V(\hat{t})=(N(N-1))/n{S}_y^2$,

ja dispersiooni hinnang:

           $\hat{V}(\hat{t})=N^2/(n(n-1))s_y^2$,

kus

           $\bar{y}=1/n\sum _s{y}_i$

on valimi keskmine,

           $\bar{Y}=1/N\sum _U{y}_i$

on üldkogumi keskmine,

           $S_y^2=1/(N-1)\sum _U(y_i-\bar{Y}{)}^2$

on tunnuse $y$ dispersioon üldkogumis ja

           $s_y^2=1/(n-1)\sum _s(y_i-\bar{y}{)}^2$

on tunnuse $y$ dispersioon valimis.