Kolmnurga võrratus

Kolmnurga võrratuseks nimetatakse elementaargeomeetrias kolmnurga külgede omadust, mis väidab, et kolmnurga iga kahe külje summa on suurem kui kolmas külg või on sellega võrdne.

Teiste sõnadega kolmnurga küljed $x,y$ ja $z$ on seoses

$z\le x+y.$

Eukleidese geomeetrias käsitletakse kolmnurga võrratust kauguse teoreemina, kus kasutatakse vektoreid $x$ ja $y$ ning nende pikkusi:

$\Vert x+y\Vert \le \Vert x\Vert +\Vert y\Vert .$

Eukleidese geomeetria

Joonis 1: Eukleidese kolmnurga võrratuse tõestuseks kasutatud joonis kolmnurgast.

Eukleides tõestas kolmnurga külgede pikkuste võrratust tasapinnalises geomeetrias kasutades joonist 1. Järgnev tõestus on välja toodud Eukleidese raamatus "Elemendid".

Alustatakse kolmnurgaga $\mathrm{\Delta }ABC$. Küljele $BC$ moodustatakse võrdhaarne kolmnurk $\mathrm{\Delta }BCD$ nii, et külg $BD$ on külje $AB$ pikendus.

Seejärel väidetakse, et nurk $\alpha <\beta$, nii et külg $AD>AC$.

Kuid $AD=AB+BD=AB+BC$, nii et külgede summa on $AB+BC>AC$, mis tõestab kolmnurga külgede pikkuste võrratust.

Võrratusest tulenevad valemid

Võrratus teisel kujul

Võrratusest tulenevalt kehtivad kolmnurga külgede

$x,y$

ja

$z$

vahel järgmised seosed:

Joonis 2: kolm juhtu kolmnurga võrratuses. Külgede pikkused on $x,y$ ja $z.$

$x+y>z,$ $y+z>x,$ $x+z>y.$

Sellest valemist järeldub

$|x-y|<z,|y-z|<x,|x-z|<y.$

Eelnevatest valemitest tuleneb, et

$|x-y|<z<x+y.$

Seda saab panna kirja valemina

$\max (x,y,z)<x+y+z-\max (x,y,z),$ mis on sama mis $2\max (x,y,z)<x+y+z.$

Kolmnurga võrratuse juhud

Kui on antud kolm külge $x,y$ ja $z$, kus $z$ on pikim külg, siis tulenevalt $z$-külje pikkusest saab võrratus esineda kolmel kujul:

1. $z<x+y$
2. $z=x+y$(summavektor vektorite käsitluses)
3. $z\approx x+y$, kus $z$-külje pikkus on vähesel määral väiksem kui $x$ ja $y$ summa.

Näide kolmnurga võrratuse kasutamisest

Näide kahel hulknurgal

Olgu meil hulknurk $ABCD$ ja selle sees kolmnurk $\mathrm{\Delta }AMD$.

Tõestame, et $P(ABCD)>P(AMD),$kus $P$ on ümbermõõt ehk kõikide külgede summa.

1. Rakendame kolmnurga võrratust kolmnurkadele $\mathrm{\Delta }ABM$ ja $\mathrm{\Delta }DCM.$
2. Saame $AB+BM>AM$ ja $MC+CD>MD.$
3. Liidame võrratused: $AB+(BM+MC)+CD>AM+MD$ ehk $AB+BC+CD>AM+MD.$
4. Liites võrratuse mõlemale poolele suuruse $AD.$
5. Saame $AB+BC+CD+AD>AM+MD+AD$ ehk $P(ABCD)>P(AMD).$

Kolmnurga võrratus vektorruumis

Joonis 3: kolmnurga võrratus kasutades summavektorit, kus $v$ja $w$ on vektorid.

Kui on antud normeeritud vektorruum $V,$siis üks normi määratlevaks tingimuseks on kolmnurga võrratus:

$\Vert x+y\Vert \le \Vert x\Vert +\Vert y\Vert \mathrm{\forall }x,y\in V$

Sellest tuleneb kolmnurga reegel, mis seisneb selles, et geomeetriliste vektorite $x$ ja $y$ summavektoriks $x+y$ nimetatakse vektorit, mis on suunatud vektori $x$ alguspunktist vektori $y$ lõpp-punkti ning summavektori pikkus on väiksem kui $x$ ja $y$ pikkuste summa.

Meetriline ruum

Olgu $X$ mitte tühi meetriline ruum ning $d$ funktsioon $X\times X$üle reaalarvude. Üheks meetrilise ruumi tingimuseks on:

$d(x,y)\le d(x,z)+d(z,y),\mathrm{\forall }x,y,z\in X.$

Igale paarile $x,y\in X$ on vastavusse seatud reaalarv $d(x,y),$mis on $x$ ja $y$ vaheline kaugus: $d(x,y)=|x-y|$(absoluutväärtus või moodul arvude $x$ ja $y$ vahest).

Tõestame antud aksioomi lähtudes kauguse definitsioonist.

$\mathrm{\forall }x,y,z\in X$ korral:

(M1) $d(x,y)\ge 0;$

(M2) $d(x,y)=|x-y|,$kui $x=y;$

(M3)$d(x,y)=|x-y|=|-(x-y)|=|y-x|=d(y,x);$

(M4) $d(x,y)=|x-y|=|(x-z)+(z-y)|\le |x-z|+|z-y|=d(x,z)+d(z,y).$

Tagurpidi kolmnurga võrratus

Tuletame meetrilise ruumi $X$eeltoodud aksioomist tagurpidi kolmnurga võrratust.

$\mathrm{\forall }x,y,z\in X$ korral:

$d(x,y)\le d(x,z)+d(z,y).$

Teisendame võrratust eelmises peatükis mainituid sammude M3 ja M4 abil:

$d(y,z)\le d(y,x)+d(x,z)=d(x,y)+d(x,z)$

ja sellest tuleneb

$-d(x,y)\le d(x,z)-d(y,z)\le d(x,y)$

ning saame

$|d(x,y)-d(x,z)|\le d(y,z),$mis on tagurpidi kolmnurga võrratus.

Tagurpidi kolmnurga võrratus omab kuju $|\Vert x\Vert -\Vert y\Vert |\le \Vert x-y\Vert ,$kus $\Vert x-y\Vert =d(x,y)$ ehk meetrilise (ja normeeritud) ruumi kaugus. Sellest tulenevalt on kolmnurga tõestus järgmine:

$d(x,y)=\Vert x-y\Vert =\Vert (x-z)+(z-y)\Vert \le \Vert x-z\Vert +\Vert z-y\Vert =d(x,z)+d(z,y),$

mis tähendabki seda, et $d(x,y)\le d(x,z)+d(z,y).$

Tõestame, et tagurpidi kolmnurga võrratus kasutab fundamentaalset kolmnurga võrratust eeldades, et $\Vert y-x\Vert =\Vert -1(x-y)\Vert =|-1|\Vert x-y\Vert =\Vert x-y\Vert$:

$\Vert x\Vert =\Vert (x-y)+y\Vert \le \Vert x-y\Vert +\Vert y\Vert \Rightarrow \Vert x\Vert -\Vert y\Vert \le \Vert x-y\Vert ,$

$\Vert y\Vert =\Vert (y-x)+x\Vert \le \Vert y-x\Vert +\Vert x\Vert \Rightarrow \Vert x\Vert -\Vert y\Vert \ge -\Vert x-y\Vert ,$

Ning kui paneme mõlemad võrratused kokku, saame

$-\Vert x-y\Vert \le \Vert x\Vert -\Vert y\Vert \le \Vert x-y\Vert \Rightarrow |\Vert x\Vert -\Vert y\Vert |\le \Vert x-y\Vert .$

Vaata ka

• Kolmnurk
• Meetriline ruum
• Vektorruum