Kategooria (matemaatika)

Kategooria mõiste on matemaatikas üldistus samalaadsete matemaatiliste objektide vaheliste "morfismide" (hulkade kujutuste, topoloogiliste ruumide pidevate kujutuste, lineaarruumide lineaarkujutuste, rühmade homomorfismide jne) kompositsioonide algebralistest omadustest tingimustel, et on olemas samasusteisendused ning morfismide kogumid on kompositsiooni suhtes kinnised.

Kategooria mõiste pärineb Samuel Eilenbergilt ja Saunders Mac Lane'ilt (1945).

Definitsioon

Formaalselt koosneb iga kategooria $𝔎$ kahest klassist:

• klassist $Ob𝔎$, mille elemente nimetame kategooria $𝔎$ objektideks
• klassist $Mor𝔎$, mille elemente nimetame kategooria $𝔎$ morfismideks, kusjuures morfismidel peavad olema järgmised omadused:
  • igale kahe objekti A, B järjestatud paarile $⟨A,B⟩$ on seatud vastavusse A-st B-sse viivate morfismide ehk noolte klass $Mor(A,B)$ (seda tähistatakse mõnikord ka $H_{𝔎}(A,B)$, $Hom(A,B)$ või $H(A,B)$). Kui $f\in Mor(A,B)$, siis objekti A nimetame morfismi f alguseks või määramispiirkonnaks ning objekti B tema lõpuks; mõnikord kirjutame $f\in Mor(A,B)$ asemel $f:A\to B$,
  • iga morfism f kuulub ainult ühte klassi $Mor(A,B)$,
  • klassis $Mor𝔎$ on defineeritud osaline korrutamisreegel: morfismide $f:A\to B$, $g:C\to D$ korrutis on defineeritud siis ja ainult siis, kui B = C, ning sel juhul kuulub ta klassi $Mor(A,D)$. Nimetame seda morfismide f ja g kompositsiooniks ning tähistame $g\circ f$ või gf.
  • morfismide kompositsioon on assotsiatiivne: kui $f:A\to B$, $g:B\to C$ ja $h:C\to D$, siis $h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f$,
  • igase klassi $Mor(A,A)$ kuulub niisugune morfism id_A, et mis tahes morfismide $f:X\to A$ ja $g:A\to Y$ korral $f=i{d}_A\circ f$ ja $g=g\circ i{d}_A$. Morfisme id_A nimetame samasusmorfismideks ehk identsusmorfismideks ehk ühikmorfismideks.

Nendest aksioomidest järeldub, et iga objekti korral on olemas samasusmorfism.

Kui $f\in \mathrm{Mor}(A,B)$, siis kirjutame $A=\mathrm{dom}(f)$ ja $B=\mathrm{cod}(f)$.

Väikesed ja lokaalselt väikesed kategooriad

Kui vaadeldud objektide klassid ja morfismide klassid on hulgad, siis nimetame kategooriat väikeseks. On palju tähtsaid kategooriaid, mis ei ole väikesed.

Kui iga kahe objekti $A,B$ korral on klass $\mathrm{Mor}(A,B)$ hulk, siis nimetame kategooriat lokaalselt väikeseks.

Vaata ka

• kategooriateooria

Kirjandus

• Samuel Eilenberg, Saunders Mac Lane. Relations between homology and homotopy groups of spaces. – Annals of Mathematics 46 (1945), 480–509.
• Jiří Adámek, Horst Herrlich, George E. Strecker. Abstract and Concrete Categories: The Joy of Cats, John Wiley and Sons, Inc 1990. Täiendatud ja parandatud veebiväljaanne 2004