Isomeetria

Mall:See artikkel Isomeetria on kujutus ühest meetrilisest ruumist teise, mis säilitab meetrika (punktidevahelised kaugused). See tähendab, et kujutispunktide vaheline kaugus on võrdne lähtepunktide vaheliste kaugustega.

Definitsioon

Kui on antud kaks meetrilist ruumi $(M_1,d_1)$ ja $(M_2,d_2)$ ning $f:M_1\to M_2$ on kujutus omadusega

$d_2(f(x),f(y))=d_1(x,y)$ kõikide $x,y\in M_1$ korral, siis kujutust $f$ nimetatakse isomeetriaks ruumist $M_1$ ruumi $M_2$.

Selline kujutus on alati injektsioon. Kui $f$ on isegi bijekrsioon, siis kujutist $f$ nimetatakse isomeetriliseks isomorfismiks ning niisuguse kujutuse olemasolu korral nimetatakse ruume $M_1$ ja $M_2$ isomeetriliselt isomorfseteks.

Erijuhtumid

Normeeritud ruumid

Normeeritud ruumis ehk normeeritud vektorruumis $V$ on kahe vektori vaheline kaugus $u,v\in V$ defineeritud vahevektori norm]na:

$d(u,v)=\Vert v-u\Vert$.

Kui $V$ ja $W$ on kaks normeeritud ruumi normidega $\Vert \cdot {\Vert }_V$ ja $\Vert \cdot {\Vert }_W$ ning $f:V\to W$ on lineaarkujutus, siis see kujutus on lineaarne isomeetria parajasti siis, kui ta säilitab normi, st kui kõikide $v\in V$ korral kehtib

$\Vert f(v){\Vert }_W=\Vert v{\Vert }_V$.

Ilma lineaarsuse eelduseta kehtib:

• Kui sihtruum on rangelt kumer, siis iga isomeetria ruumist $V$ ruumi $W$ on afiinne
• Iga sürjektiivne isomeetria on afiinne kujutus (Mazuri-Ulami teoreem).

Kui isomeetria kujutab $V$ nullvektori $W$ nullvektoriks, siis ta on lineaarkujutus.

Skalaarkorrutisega vektorruumid

Kui $V$ on skalaarkorrutisega vektorruum (skalaarkorrutisruum), siis vektori indutseeritud norm ehk skalaarkorrutisnorm (pikkus) on defineeritud ruutjuurena vektori skalaarkorrutisest iseendaga. Kahe vektori $u$ ja $v$ vaheline kaugus avaldub siis nii:

$d(u,v)=\Vert v-u\Vert =\sqrt{⟨u-v,u-v⟩}$,

kus skalaarkorrutis on tähistatud kolmnurksulgudega.

Kui $V$ ja $W$on vektorruumid skalaarkorrutistega $⟨\cdot ,\cdot {⟩}_V$ ja $⟨\cdot ,\cdot {⟩}_W$ ning $f:V\to W$ on lineaarkujutus, siis see kujutus on lineaarne isomeetria parajasti siis, kui ta säilitab skalaarkorrutise, st

$⟨f(u),f(v){⟩}_W=⟨u,v{⟩}_V$ kõikide $u,v\in V$ korral.

Selliseid kujutusi nimetatakse juhul, kui vektorruum on üle reaalarvude korpuse, ka ortogonaalseteks kujutusteks, ja juhul, kui vektorruum on üle kompleksarvude korpuse, unitaarseteks kujutusteks. Reaalarvude juhtumil ei ole seejuures tarvis eeldada, et kujutis on lineaarne, sest iga isomeetria, mis kujutab nullvektori nullvektoriks, on sel juhtumil lineaarne.

Kui $\{a_1,\dots ,a_n\}$ on ruumi $V$ ortonormeeritud baas, siis lineaarkujutus $f:V\to W$ on isomeetria parajasti siis, kui $\{f(a_1),\dots ,f(a_n)\}$ on ortonormeeritud süsteem ruumis $W$.

Eukleidilise vektorruumi kõik lineaarsed isomeetriad iseendasse moodustavad rühma, mida nimetatakse selle ruumi ortogonaalseks rühmaks. Unitaarse vektorruumi kõik lineaarsed isomeetriad iseendasse moodustavad rühma, mida nimetatakse selle ruumi unitaarseks rühmaks.

Eukleidiline punktiruum

Mall:Vaata Iga isomeetria $f:E\to F$ eukleidiliselt punktiruumilt $E$ eukleidilisele punktiruumile $F$ on afiinne kujutus. Seda saab esitada kujul

$f(Q)=f(P)+\overrightarrow{f}(\overrightarrow{PQ})$ kõikide $P,Q\in E$

korral, kusjuures $\overrightarrow{f}:V_E\to V_F$ on lineaarne isomeetria vastavast eukleidilisest vektorruumist $V_E$ vastavasse eukleidilisse vektorruumi $V_F$.

Ümberpöördult, iga kujutus, mida saab nii esitada, on isomeetria.

Eukleidilise punktiruumi isomeetriaid isendasse nimetatakse ka liikumisteks.