Harmooniline võnkumine

Lihtharmooniline võnkumine

Harmoonilises võnkumises või harmoonilises liikumises on klassikalise mehaanika järgi iga süsteem, millele siirdel tasakaalu asendist mõjub taastav jõud F mis on võrdeline antud siirdega x (ja võrdvastupidise suunaga):

$\overrightarrow{F}=-k\overrightarrow{x},$

kus k on positiivne konstant. Süsteeme, kus siire tasakaaluasendist ja samaaegne kiirendus on võrdelised ja võrdvastupidise suunaga ($\ddot{x}\propto -x$) nimetatakse harmooniliseks ostsillaatoriks (ingl k harmonic oscillator) , mõnede autorite poolt ka lineaarseks ostsillaatoriks.

Lihtharmooniline võnkumine

Kui siirdega võrdeline taastav jõud F on ainuke süsteemile mõjuv jõud, nimetatakse harmoonilist võnkumist lihtharmooniliseks võnkumiseks. Lihtharmoonilise võnkumise näiteks on massi võnkumine vedru otsas, kui sumbuvust ei arvestata ja taastav jõud allub Hooke'i seadusele. Antud juhul kirjeldab võnkuva massi liikumist harilik diferentsiaalvõrrand:

$m\ddot{x}+kx=0,$

kus $m$ on võnkuva keha mass, $x$ on siire tasakaaluasendist ja $k$ on vedru jäikus. Antud diferentsiaalvõrrandi lahendiks on sinusoidne funktsioon kujul

$x(t)=A\cos (\omega t-\phi ),$

kus $\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}$ on võnkumise ringsagedus ja $A$ on võnkumise amplituud (maksimaalne siire tasakaaluasendist) ja $\phi$ võnkumise algfaas.

Sumbuv harmooniline vabavõnkumine

Lihtharmoonilise mudeli alusel modelleeritud süsteem, kus mõjub ainult siirdega võrdeline taastav jõud, võngub ilma sumbuvuseta. Tihti on tarvilik modelleerida võnkumisi, mis ilma väliste jõududa mõjuta sumbuvad. Seejuures võivad summutavad jõud olla erinevad. Peamiselt käsitletakse võnkumisi takistavaid jõude, mis on:

• kiirusest sõltumatu suurusega (näiteks juhul, kui keha võngub horisontaaselt vedru otsas tasapinnal on takistavaks jõuks kiirusest sõltumatu hõõre);
• võrdelised kiirusega ($F\propto v$);
• võrdelised kiiruse kõrgema astmega ($F\propto v^n,n>1$).

Kiirusega võrdelise sumbuvusega harmooniline vabavõnkumine

Kõige laialdasemalt esineb sumbuvuse näidetes liikumise kiirusest $v$ sõltuvaid summutavaid jõude, $F_{vis}=-R_{m}v$. Viimase jõu alaindeks tuleneb ühest sellist sumbuvust tekitavast protsessist ehk viskoossustakistusest ja $R_m$ on võrdetegur (ühik kg/s) mida nimetatakse ka mehaaniliseks takistuseks. Seega lisades lihtharmoonilisele võnkumisele lisaks sumbuvust tekitava jõu $F_{vis}$ saab diferentsiaalvõrrand kuju:

$m\ddot{x}+R_m\dot{x}+kx=0,$

jagades viimase läbi massiga $m$ ja tähistades ${\omega }_0=\sqrt{\frac{k}{m}}$, saab võrrand kuju:

$\ddot{x}+\frac{R_m}{m}\dot{x}+{\omega }_0^{2}x=0,$

suurust ${\omega }_0$ nimetatakse sumbuvuseta võnkumiste ringsageduseks ja suuruse $R_m/m$ asemel kasutatakse mõnikord $2\zeta {\omega }_0$, kus suurust $\zeta$ nimetatakse sumbuvusastmeks (sumbeaste, sumbedekrement). Sumbuvusaste ja mehaaniline takistus on omavahel seotud valemiga $\zeta =R_m/2\sqrt{mk}$. Eeldades, et diferentsiaalvõrrandi lahend on kujul $x(t)=C{e}^{\eta t}$saame asendades lahendi diferentiaalvõrrandisse

$({\eta }^2+\frac{R_m}{m}\eta +{\omega }_0^2)C{e}^{\eta t}=0,$

kuna $C{e}^{\eta t}$ei võrdu igal ajahetkel nulliga, peab sulgudes olev avaldis võrduma nulliga. Tundmatu $\eta$ leidmiseks peab lahendama ruutvõrrandi, mille lahendiks on

$\eta =\frac{-R_m/m\pm \sqrt{(R_m/m{)}^2-4{\omega }_0^2}}{2}=-\frac{1}{\tau }\pm \sqrt{(\frac{1}{\tau }{)}^2-{\omega }_0^2}$

Viimases võrduses on kasutatud suurust $\tau =2m/R_m$. Lahendi saab, seega kirjutada kujul

$x(t)=C{e}^{-t/\tau }\cos ({\omega }_{d}t+\varphi ),$

millest on näha, et kasutusele võetud suurus $\tau$ on eksponentsiaalne sumbuvusaeg. Suurus ${\omega }_d$ on sumbuvusega võnkumise ringsagedus, mida saab leida valemiga

${\omega }_d=\sqrt{{\omega }_0^2-(\frac{1}{\tau }{)}^2}.$

Alasummutatud harmooniline võnkumine, amplituud sumbub ajas eksponentsiaalselt

Tihti kasutatakse sumbuvate võnkumiste kirjeldamiseks ka dimensioonitut suurust $Q$, mida nimetatakse hüveteguriks. Hüvetegur on eelnevate suurustega seotud vastavalt

$Q^2=km/R_m^2={\omega }_0^2{\tau }^2/4$

Sumbuvatel harmoonilistel võnkumistel eristatakse kolme režiimi:

• Juhul, kui $R_m/m\ll 2{\omega }_0$ on tulemuseks ajas sumbuva amplituudiga võnkumine ja seda olukorda kutsutakse alasummutatud harmooniliseks võnkumiseks;
• Juhul, kui $R_m/m\gg 2{\omega }_0$ ei toimu süsteemi võnkumist ja toimub amplituudi vähenemine eksponentsiaalse sumbuvusajaga $\tau =R_m/k$, viimast nimetatakse ülesummutatud harmooniliseks võnkumiseks;
• Juhul, kui $R_m/m=2{\omega }_0$ ei toimu süsteemi võnkumist ja algne häiritus sumbub vähima võimaliku ajaga $\tau ={\omega }_0^{-1}$, antud režiimi nimetatakse seejuures kriitiliselt summutatud harmooniliseks võnkumiseks.

Sumbuvusega harmooniline sundvõnkumine

Juhul, kui lisaks sumbuvusele mõjub süsteemile ka sundiv väline ajas muutuv jõud $F(t)$ kirjeldab vastavat harmoonilist võnkumist diferentsiaalvõrrand kujul

$m\ddot{x}+R_m\dot{x}+kx=F(t)$,

jällegi jagatakse tihti võrrand läbi massiga $m$ ja tähistades ${\omega }_0=\sqrt{\frac{k}{m}}$, saab võrrand kuju

$\ddot{x}+\frac{R_m}{m}\dot{x}+{\omega }_0^{2}x=\frac{F(t)}{m},$

Samaväärsed süsteemid

Harmooniliste ostsillaatoritega samaväärselt käituvaid süsteeme leidub lisaks mehaanikale ka teistes füüsika valdkondades. Samaväärsus tähendab süsteeme kirjeldava difierentsiaalvõrrandi samaväärsus. Allolevas tabelis on toodud nelja harmooniliselt võnkuva süsteemi samaväärsed suurused.

Rööpliikumine	Pöördliikumine	Jadavõnkering RLC	Rööpvõnkering RLC
Koordinaat $x$	Nurk $\theta$	Laeng $q$	Magnetvoo ühendatus $\phi$
Kiirus $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$	Nurkkiirus $\frac{\mathrm{d}\theta }{\mathrm{d}t}$	Voolutugevus $\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}$	Pinge $\frac{\mathrm{d}\phi }{\mathrm{d}t}$
Mass $m$	Inertsimoment $I$	Induktiivsus $L$	Mahtuvus $C$
Vedru jäikus $k$	Väände jäikus $\mu$	Pöördmahtuvus $1/C$	Magnetiline takistus $1/L$
Mehaaniline takistus $R_m$	Pöördhõõre $\mathrm{\Gamma }$	Takistus $R$	Elektrijuhtivus $G=1/R$
Sundiv jõud $F(t)$	Sundiv jõumoment $\tau (t)$	Pinge $e$	Voolutugevus $i$
Vabavõnkumise omavõnkesagedus $f_n$
$\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{k}{m}}$	$\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{\mu }{I}}$	$\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{1}{LC}}$	$\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{1}{LC}}$
Sumbuvusaeg τ
$\frac{R_m}{2m}$	$\frac{\mathrm{\Gamma }}{2I}$	$\frac{R}{2L}$	$\frac{G}{2C}$
Diferentsiaalvõrrand
$m\ddot{x}+R_m\dot{x}+kx=F$	$I\ddot{\theta }+\mathrm{\Gamma }\dot{\theta }+\mu \theta =\tau$	$L\ddot{q}+R\dot{q}+q/C=e$	$C\ddot{\phi }+G\dot{\phi }+\phi /L=i$

Vaata ka

• Lihtharmooniline võnkumine
• Võnkumine
• Anharmooniline võnkumine