Aritmeetiline jada

Aritmeetiline jada ehk aritmeetiline progressioon on jada, milles iga kahe järjestikuse liikme vahe on konstantne.

Aritmeetilise jada üldliige avaldub kujul

$a_n=a_0+nd,$

kus

$a_0$ on aritmeetilise jada esimene element ehk algliige,

$d$ on aritmeetilise jada vahe ja

$n$ = 0,1,2,....

Kõik lõpmatud aritmeetilised jadad, kus d ≠ 0, on tõkestamata jadad. Kui d > 0, siis n → ∞ korral $a_n$ → ∞. Kui d < 0, siis n → ∞ korral $a_n$ → –∞.

Näited

Jada (7, 12, 17, 22, ..., 5n + 7, ...) on lõpmatu aritmeetiline jada algliikmega $a_0$ =7 ja vahega d = 5.

Aritmeetilise jada n esimese liikme summa

Aritmeetilise jada n esimese liikme summa avaldub kujul

$S_n=a_0+a_1+...+a_{n-1}=\sum _{k=0}^{n-1}(a_0+dk)=n(a_0+d\frac{n-1}{2})$.

Tõestus

Tõestuseks võib konstrueerida järgmise summa

$2S_n=(a_0+a_{n-1})+(a_1+a_{n-2})+...+(a_{n-1}+a_0).$

Asendades viimasesse avaldisse pealiikme valemi saame summa

$2S_n=\sum _{k=0}^{n-1}(a_0+dk+a_0+d(n-1-k))=\sum _{k=0}^{n-1}(2a_0+d(n-1))=n(2a_0+d(n-1)).$

Võrduse poolte jagamine kahega annabki aritmeetilise jada n esimese liikme summa valemi.

Vaata ka

• Geomeetriline jada