Schrödingeri võrrand

Schrödingeri võrrand on lineaarne osatuletisega diferentsiaalvõrrand, mis võimaldab arvutada kvantmehaanilise süsteemi osakese lainefunktsiooni. Enamasti kasutatakse seda elektronide lainefunktsiooni arvutamiseks aatomis või molekulis. Võrrandi autor on austria füüsik Erwin Schrödinger, kelle järgi on võrrand ka nimetatud. Seda peetakse kvantmehaanika üheks kõige kesksemaks ja olulisemaks avastuseks. Võrrand avalikustati 1926. aastal ning 1933. aastal sai Schrödinger selle eest Nobeli füüsikaauhinna.

Schrödingeri võrrand leiab rohkem kasutust just mitterelativistlikus kvantmehaanikas. Asjaolu, st selles võrrandis on ajalised ja ruumilised vabadusastmed selgelt eristatud, muudab selle kasutamise relativistlikus kvantmehaanikas üldjuhul ebamugavaks.

Üldkuju

Ajast sõltuv võrrand

Kõige üldisemalt võib Schrödingeri võrrandi kirja panna kujul

$\mathrm{i}\hslash \frac{\partial }{\partial t}|\psi (t)⟩=\hat{H}|\psi (t)⟩$,

kus $i$ on imaginaarühik, $\hslash$ on taandatud Plancki konstant, $|\psi (t)⟩$ on süsteemi olekuvektor (ket-vektor), $t$ on aeg ja $\hat{H}$ on süsteemi Hamiltoni operaator.

Ajast sõltumatu võrrand

Võrrandit on võimalik esitada ka ilma aja sõltuvuseta. See avaldub kujul

$\hat{H}\mathrm{\Psi }=E\mathrm{\Psi }$,

kus $\mathrm{\Psi }$ on lainefunktsioon ja $E$ on süsteemi energia.

Osake kolmemõõtmelises ruumis

Kolmemõõtmelises ruumis asuvat spinnita osakest kirjeldab võrrand

$i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\Psi }(𝐫,t)=-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Psi }(𝐫,t)+V(𝐫,t)\mathrm{\Psi }(𝐫,t)$

kus

• $i$ on imaginaarühik,
• $\hslash$ on taandatud Plancki konstant,
• $𝐫=(x,y,z)$ on osakese asukoht,
• $\mathrm{\Psi }(𝐫,t)$ on lainefunktsioon, mille moodul annab tõenäosustiheduse leidmaks osakest punktist r ajahetkel t.
• $m$ on osakese mass.
• $V(𝐫,t)$ on osakese potentsiaalne energia punktis r hetkel t.
• ${\mathrm{\nabla }}^2$ on Laplace'i operaator.

Antud süsteemi Hamiltoni operaator on seega kujul

$\hat{H}=-\frac{{\hslash }^2}{2m}\mathrm{\Delta }+V(𝐫,t)$.

Vaata ka

• Diraci võrrand
• Heisenbergi pilt
• Schrödingeri pilt
• Von Neumanni võrrand