Lõplik hulk

Matemaatikas nimetatakse lõplikuks hulgaks hulka, mille puhul mõnd naturaalarvu (kaasa arvatud null) saab nimetada tema elementide arvuks.

Nii näiteks on hulk

$S=\{4,6,2,8\}$

lõplik hulk, mille elementide arv on 4. Tühihulgal definitsiooni järgi elemendid puuduvad, st $0$ on selle elementide arv, sellepärast loetakse seda lõplikuks hulgaks.

Lõpliku hulga $S$ võimsust $|S|$ samastatakse mõne naturaalarvuga. Näiteks kirjutatakse siis $|S|=4$, et väljendada, et hulgal $S$ on 4 elementi.

Hulka, mis ei ole lõplik, nimetatakse lõpmatuks hulgaks.

Lõpliku hulga võib samaväärselt defineerida kui hulga, mis pole võrdvõimas ühegi oma pärisalamhulgaga (vt #Dedekindi definitsioon).

Definitsioon

Punaste nooltega näidatud bijektsioon $f$ näitab, et $|S|=|N_4|$ ning hulk $S$ on seega lõplik

Hulka $M$ nimetatakse lõplikuks, kui leidub naturaalarv $n$ (mis võib olla null,) nii, et leidub bijektsioon

$f:M\to N_n:=\{m\in {\mathbb{N}}_0\mid m<n\}=\{0,1,2,3,\dots ,n-1\}$

hulgast $M$ kõikide arvust $n$ väiksemate naturaalarvude hulgale $N_n$.

Selle definitsiooni järgi on tühihulk $\mathrm{\varnothing }:=\{\}$ lõplik, sest triviaalsel moel leidub bijektsioon hulgast $\mathrm{\varnothing }$ tühihulgale $N_0$ (kõikide arvust $0$ väiksemate naturaalarvude hulgale).

Nii näiteks on hulk

$S=\{4,6,2,8\}$

lõplik, sest eksisteerib bijektsioon sellelt hulgalt hulgale

$N_4=\{0,1,2,3\}$

(vaata joonist).

Seevastu ei leidu bijektsiooni kõikide naturaalarvude hulgast

${\mathbb{N}}_0=\{0,1,2,3,\dots \}$

lõplikule hulgale, nii et hulk ${\mathbb{N}}_0$ on lõpmatu.

Alternatiivse definitsiooni järgi nimetatakse hulka S lõplikuks, kui ta on tühihulk või kui leidub bijektsioon

$f:S\to \{1,\dots ,n\}$

mõne naturaalarvu n korral. Arvu n nimetatakse hulga S võimsuseks.

Lõplike hulkade omadusi

• Lõpliku hulga $A$ iga alamhulk on lõplik.
• Kui $A$ on lõplik hulk ja $B$ on suvaline hulk, siis on nii ühisosa $A\cap B$ kui ka vahe $A\setminus B$ lõplikud hulgad, sest mõlemad on hulga $A$ alamhulgad.
• Kui $A,B$ on lõplikud hulgad, siis on ka nende ühend Vereinigungsmenge $A\cup B$ lõplik. Selle võimsus
      $|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$.
  Kui $A$ ja $B$ on lõplikud ja ühisosata hulgad, ($A\cap B=\mathrm{\varnothing },$), siis
      $|A\cup B|=|A|+|B|=|A\dot{\cup }B|$.
• Lõpliku arvu lõplike hulkade ühend on lõplik hulk. Selle võimsus on antud inklusiooni ja eksklusiooni printsiibiga.
• Kui hulk $A$ on lõpmatu ja hulk $B$ on lõplik, siis nende vahe $A\setminus B$ on lõpmatu.
• Lõpliku hulga $A$ astmehulk $𝒫(A):=\{U\mid U\subseteq A\}$ on suurema võimsusega kui see hulk ise, kuid lõplik; kehtib $|𝒫(A)|=2^{|A|}$.
• Lõplike hulkade otsekorrutis $A\times B$ on lõplik. Selle võimsus on suurem kui kummalgi teguril, kui kumbki tegur ei ole tühihulk ja mõlema teguri võimsus on suurem kui $1$. Lõplike hulkade $A,B$ otsekorrutise võimsus $|A\times B|=|A|\cdot |B|$. Lõpliku arvu lõplike hulkade otsekorrutis on lõplik hulk.

Dedekindi definitsioon

Teine lõpliku hulga definitsioon pärineb Richard Dedekindilt. See on niisugune:

Hulka $S$ nimetatakse lõplikuks, kui see ei ole võrdvõimas ühegi oma pärisalamhulgaga, vastasel juhtumil lõpmatuks.

Tänapäeval räägitakse Dedekindi lõplikkusest ja Dedekindi lõpmatusest. .

Et matemaatilise induktsiooni teel näidata, et iga lõplik hulk on ka Dedekindi-lõplik, piisab, kui näidata järgmist:

1. Tühi hulk ei ole võrdvõimas ühegi oma pärisalamhulgaga.
2. Kui hulk $S$ ei ole ühegi oma pärisalamhulgaga võrdvõimas, siis ei ole ka hulk $S\cup \{a\}$ ühegi oma pärisalamhulgaga võrdvõimas.

(Punkt 1 on selge, sest tühihulgal ei ole pärisalamhulki. Punkti 2 juures tuleb näidata, et bijektsioonist $f^{\prime }$ hulgast $S^{\prime }:=S\cup \{a\}$ hulga $S^{\prime }$ pärisalamhulgale $U^{\prime }$ võib konstrueerida bijektsiooni $f$ hulgast $S$ selle pärisalamhulgale $U$.)

Ümberpöördult, iga Dedekindi-lõplik hulk $A$ on ka lõplik, sest kui $A$ oleks lõpmatu, siis peaks valikuaksioomi põhjal leiduma paarikaupa erinevate elementide $a_n\in A$ jada $F:=(a_0,a_1,a_2,\dots )={\left(a_n\right)}_{n\in {\mathbb{N}}_0}.$ Kujutus

$f:A\to A\setminus \{a_0\},a\mapsto \{\begin{array}{c}\\ \end{array}$	$a_{n+1}$	$a\in F,$   $a_n=a$ korral
	$a$	$a\in ̸F$ korral

on hästi defineeritud, sest kui $a\in F$, siis leidub üheselt määratud $n\in {\mathbb{N}}_0$ nii, et $a_n=a$. See näitab, et $A$ on võrdvõimas oma pärisalamhulgaga $A\setminus \{a_0\}$ ja seetõttu ei ole ta Dedekindi-lõplik – mis on eeldusega vastuolus.

Kirjandus

• Paul R. Halmos. Naive Mengenlehre (= Moderne Mathematik in elementarer Darstellung, kd 6),. 5. trükk, Vandenhoeck & Ruprecht: Göttingen 1994, ISBN 3-525-40527-8.
• Oliver Deiser. Einführung in die Mengenlehre. Die Mengenlehre Georg Cantors und ihre Axiomatisierung durch Ernst Zermelo, =3., parandatud trükk, Springer 2010, ISBN 978-3-642-01444-4.