Signumfunktsioon

Mall:See artikkel Signumfunktsioon ehk märgifunktsioon (ladina keelest signum 'märk'), mida sageli tähistatakse kui $\mathrm{sgn}(x)$, on matemaatiline funktsioon, mis eraldab reaalarvu märgi. Funktsioon tagastab positiivsete arvude korral +1, negatiivsete arvude korral -1 ja nullväärtuse korral 0. Seda kasutatakse laialdaselt matemaatikas, arvuti- ja inseneriteaduses, näiteks algoritmide analüüsimisel, juhtimissüsteemides ja signaalitöötluses.

Signumfunktsioon $y=sgn(x)$

Definitsioon

Signumfunktsioon on defineeritud järgnevalt:

$\mathrm{sgn}x=\{\begin{array}{ccc}1,& \text{kui}& x>0\\ 0,& \text{kui}& x=0\\ -1,& \text{kui}& x<0\end{array}$

Funktsioon võtab sisendiks reaalarvu $x$ ja tagastab vastavalt sellele, kas $x$ on positiivne, negatiivne või null, vastava arvu $+1$, $-1$ või $0$.

Signumfunktsiooni saab matemaatiliselt väljendada järgmiselt:

$\mathrm{sgn}(x)=\frac{x}{|x|}$, kui $x\ne 0$

$\mathrm{sgn}(0)=0$ Fail:Kompleksarvu signumfunktsioon.webm Kompleksarvude puhul saab laiendada signumfunktsiooni nii reaal- kui ka imaginaarkomponendi märgi määramiseks. Kompleksarvu $z=a+bi$, kus $a$ ja $b$ on reaalarvud, signumfunktsioon on defineeritud järgnevalt:

$\mathrm{sgn}(z)=\frac{z}{|z|}$, kui $z\ne 0$

$\mathrm{sgn}(0)=0$

Omadused

Signumfunktsioon on paaritu funktsioon, mis tähendab, et $\mathrm{sgn}(-x)=-\mathrm{sgn}(x)$ mis tahes reaalarvu $x$ korral.

Reaalarvu $x$ absoluutväärtust saab arvutada signumfunktsiooni abil järgmiselt: $|x|=x*\mathrm{sgn}(x)$.

Signumfunktsioon on mitte-pidev kohal $x=0$, sest vasak ja parem piirväärtus ei lange kokku. Mujal on aga pidev.

$\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{x\to 0}{x<0}}{\lim }\mathrm{sgn}(x)=-1\ne \mathrm{sgn}(0)$

$\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{x\to 0}{x>0}}{\lim }\mathrm{sgn}(x)=1\ne \mathrm{sgn}(0)$

Kompleksarvu signumfunktsioon skaleerib arvu säilitades faasi. Teisisõnu, see seab vastavusse kompleksarvu $z$, ühikringi punktiga komplekstasandil, säilitades algse kompleksarvu nurga.

Rakendused

Digitaalne signaalitöötlus

Digitaalses signaalitöötluses kasutatakse signumfunktsiooni signaali polaarsuse tuvastamiseks ja erinevate algoritmide rakendamiseks (kvantimine ja adaptiivfilter).

Kastsignaali saab tekitada järgneva valemiga:

$s(t)=A\cdot \text{sgn}(\sin (2\pi ft+\varphi ))$

kus $A$ on kastsignaali amplituud, $f$ on kastsignaali sagedus, $t$ on aeg ja $\varphi$ on kastsignaali faas.

Juhtimissüsteemid

Signumfunktsiooni kasutatakse juhtimissüsteemides mittelineaarsete süsteemide käitumise modelleerimiseks (hüsterees, küllastus ja surnud tsoon).

Arvutiteadus

Arvutiteaduses kasutatakse signumfunktsiooni erinevates rakendustes näiteks veaparanduskoodis, krüptograafias ja andmete pakkimise algoritmides.