Poolvõre

Võreteoorias nimetatakse ülemiseks poolvõreks (ka supreemum-poolvõreks või sup-poolvõreks) osaliselt järjestatud mittetühja hulka, milles igal kaheelemendilisel alamhulgal leidub supreemum ehk ülemine raja (tähistatakse sageli sümboliga 1). Duaalselt saab defineerida alumise poolvõre (infiimum-poolvõre või inf-poolvõre) kui hulga, mille igal kaheelemendilisel alamhulgal leidub alumine raja (tihti tähistatud sümboliga 0).

Poolvõresid on võimalik defineerida ka algebraliselt: poolvõre on algebra

$(S,*)$

, millel defineeritud binaarne tehe

$*$

, mille rollis on parajasti kas supreemumi (∨) või infiimumi (∧) võtmine, rahuldab mistahes elementide

$x,y,z\in S$

korral järgmiseid tingimusi:

$x*(y*z)=(x*y)*z$

(assotsiatiivsus),

$y*x=x*y$

(kommutatiivsus),

$x*x=x$

(idempotentsus).

Kasutades algebralisi struktuure, saab poolvõre defineerida kui poolrühma, mis rahuldab kommutatiivsuse ja idempotentsuse omadusi.

Tasub märkida, et ülaltoodud definitsioonid on samaväärsed, see tähendab, et olenevalt olukorrast võib kasutada nii hulgateoreetilist kui algebralist definitsiooni.

Kui hulk $L$ on ühe ja sama järjestuse suhtes korraga nii ülemine kui alumine poolvõre (hulgateoreetiline definitsioon) või kui selles hulgas kehtivad ülaltoodud binaarsed tehted mainitud tingimustega ja neelduvusseadustega $x\wedge y\vee x=x$ ja $(x\vee y)\wedge x=x$ (algebraline definitsioon), siis nimetatakse seda hulka võreks.

Omadused

Poolvõresid $S$ ja $F$ nimetatakse isomorfseteks, kui leiduvad järjestust säilitavad kujutused $f:S$→$F$ ja $g:F$→$S$ nii, et nende kujutuste järjestrakendamisel saame ühikelemendi, ehk $gf=1_S$ ja $fg=1_F$.

Alljärgnevad omadused on sõnastatud ülemiste poolvõrede jaoks ning duaalsusprintsiibi abil ka alumiste poolvõrede jaoks. Duaalsusprintsiip väidab, et kui mingi väide $\mathrm{\Phi }$ kehtib kõigi osaliselt järjestatud hulkade korral, siis ka väide ${\mathrm{\Phi }}^{op}$ kehtib kõigi järjestatud hulkade korral, kus viimase tähistuse all mõeldakse kirjutist, kus kõik esialgsed tehted on asendatud vastupidistega ($\wedge \text{ vs }\vee ,\ge \text{ vs }\le$ jne).

• Kui meil on kaks ülemist poolvõret $S$ ja $F$, siis on nende vahel võimalik leida sup-homomorfism $f:S\to F$, mis on defineeritud järgnevalt:

$f(x\vee y)=f(x)\vee f(y)$

.

Duaalselt: kahe alumise poolvõre vahel on võimalik leida inf-homomorfism

$g:S\to F$

seosega

$g(x\wedge y)=g(x)\wedge g(y)$

• Igas poolvõres on võimalik leida alampoolvõre:

kui

$S$

on ülemine poolvõre, siis alamhulka

$I\subseteq S$

nimetatakse ülemiseks alampoolvõreks, kui mistahes

$a,b\in I$

korral ka

$a$

∨

$b\in I$

.

Duaalselt: kui

$R$

on alumine poolvõre, siis alamhulka

$J\subseteq R$

nimetatakse alumiseks alampoolvõreks, kui mistahes

$c,d\in J$

korral ka

$c$

∧

$d\in J$

.

• Ülemise poolvõre $S$ ideaaliks nimetatakse hulka $I\subseteq S$ parajasti siis, kui

$a\vee b\in I⟺a\in I$

ja

$b\in I$

,

ning alumise poolvõre

$R$

ideaaliks hulka

$J\subseteq S$

parajasti siis, kui

$c\wedge d\in J⟺c\in J$

ja

$d\in J$

.

• Ülemist poolvõret nimetatakse tõkestatuks, kui tal leidub vähim element. Mistahes lõplik poolvõre on tõkestatud. Alumist poolvõret nimetatakse tõkestatuks, kui tal leidub suurim element.

Näited

• Täielikult järjestatud hulk on võre, seega samaaegselt ülemine ja alumine poolvõre. Näiteks poolvõre ($\mathbb{Z},\le$) ei ole täielik.

• Kõik ahelad on poolvõred. Näiteks naturaalarvude hulk $\mathbb{N}$ on inf-poolvõre.
• Poolvõred on $M_3$ (teemant) ja $N_5$ (pentagon).