Abeli integraal

Abeli integraal (norra matemaatiku Niels Abeli järgi) on integraal kujul

$\underset{z_0}{\overset{z}{\int }}R(x,w)dx,$

kus R on muutujate x ning w ratsionaalfunktsioon, kusjuures w on omakorda algebraline funktsioon muutujast x. Täpsemalt, x ja w on seotud võrrandiga

$F(x,w)=0,$

kus $F(x,w)$ on muutuja $w$ polünoom:

$F(x,w)\equiv {\varphi }_n\left(x\right)w^n+\cdots +{\varphi }_1\left(x\right)w+{\varphi }_0\left(x\right),$

mille kordajad ${\varphi }_j\left(x\right)$, $j=0,1,\dots ,n$ on muutuja x ratsionaalfunktsioonid. Abeli integraali väärtus ei sõltu vaid integraali rajadest vaid ka joonest komplekstasandil, üle mille integreeritakse. Viimane asjaolu muudab Abeli integraali muutuja z mitmeseks funktsiooniks.

Eijuhud

Abeli integraalid onüldistavad elliptilisi integraale, mis vastavad olukorrale

$F(x,w)=w^2-P\left(x\right),$

kus P on kolmandat või neljandat järku polünoom. Juhul, kui P järk on suurem kui 4, on tegemist hüperelliptilise integraaliga.