Lehekülje Pii lähteteksti vaatamine

{{See artikkel| räägib arvust; teiste tähenduste kohta vaata [[Pii (täpsustus)]]}}

'''{{pii}}''' [pii] ehk '''Archimedese konstant''' on [[matemaatiline konstant]], mis on võrdne [[tasand]]il paikneva [[ringjoon]]e [[Pikkus (matemaatika)|pikkus]]e ja [[diameeter|diameetri]] [[Suhe (matemaatika)|suhtega]] (see suhe ei sõltu ringjoone ega diameetri valikust). <math>\pi</math> ligikaudne väärtus on 3,14159.

Seda suurust on tähistatud kreeka tähe <math>\pi</math>-ga alates 18. sajandi keskpaigast.

Kuna <math>\pi</math> on [[irratsionaalarv]], siis ei saa seda esitada kahe [[täisarv]]u jagatisena ([[murd]]e, nagu näiteks 22/7, kasutatakse <math>\pi</math> ligikaudsete väärtustena, aga ükski murd ei saa olla selle täpne väärtus). Selle tõttu on <math>\pi</math> [[kümnendesitus]] [[lõpmatus|lõpmatu]] ning samuti ei teki kümnendesituses korduvaid jäädavaid [[muster|mustreid]]. Arvatakse, et <math>\pi</math> kümnendesituse [[number|numbrid]] on juhuslikult [[jaotus|jaotunud]]. 
Lisaks on <math>\pi</math> [[Transtsendentne arv|transtsendentaalne arv]] ehk [[arv]], mis ei ole ühegi 0-ist erineva [[ratsionaalarv]]uliste kordajatega [[polünoomvõrrand]]i [[lahend]]iks.

[[Matemaatik]]ud on tuhandeid aastaid püüdnud suurendada oma teadmisi <math>\pi</math>-st, arvutades selle väärtust suure täpsusega. Enne 15. sajandit kasutasid matemaatikud, nagu [[Archimedes]] ja [[Liu Hui]], [[geomeetria|geomeetrilisi]] [[meetod]]eid, mis baseerusid [[hulknurk]]adel, et hinnata <math>\pi</math> väärtust. Umbes 15. sajandil põhjustasid uued [[lõpmatu jada|lõpmatutel jadadel]] põhinevad [[algoritm]]id revolutsiooni <math>\pi</math> arvutamises. 20. ja 21. sajandil avastasid matemaatikud ja [[arvutiteadlane|arvutiteadlased]] uued lähenemised, mis ühendatuna aina kasvava arvutusvõimsusega võimaldasid hüppeliselt suurendada väljaarvutavate komakohtade arvu. Augustis 2010 anti teada, et <math>\pi</math> väärtusest on kindlaks tehtud 5 triljonit komakohta. Sellega purustati alles sama aasta algul püstitatud varasem rekord, mis oli 2,7 triljonit komakohta.<ref name="19wUu" /> 2011. aastal arvutati üle 10 [[triljon]]i <math>\pi</math> komakoha <ref name="JwGaR" />. Teaduslikes arvutustes ei kasutata tavaliselt rohkem kui 40 [[komakoht]]a. Peamine motivatsioon selliste arvutuste tegemiseks on seega inimkonna soov purustada rekordeid, kuid <math>\pi</math> komakohtade leidmisega seonduvaid mahukaid arvutusi on kasutatud ka [[superarvuti]]te ja suure täpsusega korrutusalgoritmide võimekuse hindamiseks.

Kuna <math>\pi</math> definitsioon on seotud ringjoonega, siis leidub seda paljudes [[trigonomeetria]] ja geomeetria [[valem]]ites. Eriti nendes, mis on seotud ringide, [[ellips]]ite ja [[sfäär]]idega. Seda esineb ka teistes teadusvaldkondades, nagu näiteks [[kosmoloogia]]s, [[arvuteooria]]s, [[statistika]]s, [[fraktal]]ites, [[termodünaamika]]s, [[mehaanika]]s ja [[elektromagnetism]]is. Kuna <math>\pi</math> esineb nii paljudes teadusharudes, siis on ta ka üks enim tuntud matemaatilisi konstante nii [[teadlane|teadlaste]] kui ka üldise [[populatsioon]]i hulgas. <math>\pi</math> kohta on ilmunud mitu raamatut ja tema ülistamiseks peetakse ka [[Pii päev]]a. Lisaks jõuavad uued rekordid <math>\pi</math> arvutamisest tihti uudistesse. Samuti võistlevad inimesed <math>\pi</math> komakohtade meelde jätmises. Praegune rekord on üle 67 000 komakoha.

==Nimi==
Matemaatikud kasutavad ringi ümbermõõdu ja diameetri suhte tähistamiseks kreeka tähte <math>\pi</math>. Seda tähte ja sealt tulenevalt ka suurust <math>\pi</math> võib kirjutada ladina sõnaga "pi". Väikest <math>\pi</math>-d ei tohi ajada segamine suure <math>\Pi</math>-ga, millega tähistatkse matemaatikas [[jada]] liikmete korrutist.

==Definitsioon==
[[Pilt:Pi-unrolled-720.gif|pisi|350px|Animatsioon, mis näitab pii tähendust]]
Enamasti on <math>\pi</math> defineeritud kui ringjoone ümbermõõdu suhe tema diameetrisse:<ref name="Arndt" />
:<math> \pi = {C \over d}</math>

Suhe ''C/d'' on konstant, hoolimata ringjoone suurusest. Näiteks kui ühe ringjoone diameeter on kaks korda pikem kui teise ringjoone diameeter, siis on ka tolle ringjoone ümbermõõt 2 korda suurem, säilitades nii suhte ''C/d'' väärtuse. See <math>\pi</math> definitsioon eeldab kaudselt [[eukleidiline geomeetria|eukleidilist geomeetriat]]. Ringjoone tähendust saab laiendada ka mitte-eukleidilistesse [[ruum]]idesse, aga need uued ringjooned ei rahulda enam [[võrdus]]t <math>\pi</math>=''C/d''.<ref name="Arndt" /> Eksisteerivad ka teistsugused <math>\pi</math> [[definitsioon]]id, mis ei ole seotud ringijoontega. Näiteks on <math>\pi</math> kaks korda suurem vähimast [[Positiivne arv|positiivsest]] x-ist, mille korral [[koosinus|cos(x)]] võrdub [[null]]iga.<ref name="Arndt" /><ref name="NpFuK" />

==Omadused==
<math>\pi</math> on irratsionaalarv, mis tähendab, et seda ei saa esitada kahe täisarvu suhtena (murde, nagu näiteks 22/7, kasutatakse <math>\pi</math> ligikaudsete väärtustena, kuid ei leidu ühtegi lõplikku murdu, mis oleks selle täpne väärtus).<ref name="xsoll" /> Kuna <math>\pi</math> on irratsionaalarv, siis on selle kümnendesitus lõpmatu ning kümnendesituses ei teki lõpmatult korduma jäävaid mustreid. <math>\pi</math> irratsionaalsust saab tõestada 
mitmel moel. Enamik neid mooduseid kasutab [[diferentsiaal]]- ja [[integraal]]arvutuse meetodeid, [[tõestus|tõestades]], et vastandjuhul tekiks matemaatiline vastuolu. Veel ei teata, mis täpsuseni saab ratsionaalarvu abil <math>\pi</math> väärtust avaldada, kuid uurimustega on tehtud kindlaks, et see täpsus on suurem kui arvudel [[e]] ja [[naturaallogaritm|ln(2)]] , kuid väiksem kui [[Liouville'i number|Liouville'i numbritel]].<ref name="tpLgW" />

<math>\pi</math> on [[transtsendentne arv]], mis tähendab, et see ei ole ühegi ratsionaalarvuliste kordajatega polünoomvõrrandi, nagu näiteks
:<math> {x^5 \over 120} -{x^3 \over 6}+x=0</math>,

lahendiks.<ref name="kY29I" /> <math>\pi</math> transtsendentaalsusest tulenevad kaks järeldust. Esiteks ei saa <math>\pi</math> -d esitada ühegi ratsionaalarvu ja [[juur|n-astme juure]] [[kombinatsioon]]ina. Teiseks, kuna transtsendentaalse arvu [[Pikkus (matemaatika)|pikkust]] [[külg]]e ei saa konstrueerida [[sirge]] ja [[kompass]]i abil, siis ei ole ka võimalik konstrueerida sirge ja kompassi abil [[ruut]]u, mille pindala oleks võrdne etteantud ringi pindalaga.<ref name="POKsu" />

<math>\pi</math> kümnendesituses esinevad numbrid ilma nähtavate mustriteta ja vastavad seniste arvutuste põhjal [[statistika|statistilisele]] juhuslikkusele. Samuti paistab, et <math>\pi</math> rahuldab [[normaalsuse test]]i tingimusi. Lõpmatut arvu nimetatakse normaalseks, kui kõik võrdse suvalise pikkusega numbrikombinatsioonid esinevad sarnase [[tõenäosus]]ega.<ref name="are" /> <math>\pi</math> normaalsust ei ole suudetud veel tõestada ega ümber lükata.<ref name="are" /> Alates arvutite loomise perioodist on teadlastel olnud teada hulgaliselt <math>\pi</math> komakohtade väärtusi, mida statistiliselt analüüsida. [[Yasumasa Kanada]] on uurinud <math>\pi</math>-d statistilise analüüsi vaatenurgast ning leidnud, et <math>\pi</math> numbrid vastavad seniste andmete põhjal normaalsuse tingimusele.<ref name="ctHTK" />

==Ligikaudne väärtus==
Mõned [[ligikaudne arv|ligikaudsed <math>\pi</math> väärtused]]:
*'''murruna''': Ligikaudsete murdude hulka kuuluvad kasvava täpsuse järjekorras <math>\frac{22}{7} </math> , <math>\frac{333}{106} </math> , <math>\frac{355}{113} </math> , <math>\frac{52163}{16604} </math> , <math>\frac{103993}{33102} </math> <ref name="IC0Ce" />
*'''[[kümnendsüsteem]]is''': Esimesed sada komakohta on 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 <ref name="wGgyX" />
*'''[[kahendsüsteem]]is''': 11.001001000011111101101010100010001000010110100011 ....
*'''[[kuueteistkümnendsüsteem]]is''': 3,243F6A8885A308D31319
*'''[[kuuekümnendsüsteem]]is''': 3;8,29,44,1 <ref name="kg0Ts" />
*'''elliptiliste [[kõver]]ate ja [[kompleksarv]]ude korrutamise [[teooria]]st tulenev [[lähendus]]''': <math>\pi \approx {\ln(640320^3+744)\over\sqrt{163}}</math> , mis kehtib umbes 30 komakohani.

==Ajalugu==
===Antiikaeg===
Esimesed kirjalikud viited <math>\pi</math> ligikaudsest väärtusest pärinevad [[Egiptus]]est ja [[Babüloonia]]st. Mõlemad hindasid <math>\pi</math> väärtust vähem kui 1% veaga. Babülooniast on leitud ajavahemikust 1900–1600 eKr pärinev savitahvel, millel kasutatakse <math>\pi</math> väärtusena <math>25/8= 3,1250</math>.<ref name="ant" /> Egiptusest on pärit [[papüürusrull|papüürus]], mille valmistamise ajaks hinnatakse 1650 eKr ja millel on [[valem]] ringi pindala leidmiseks. Seal kasutatakse <math>\pi</math> väärtusena <math>(16/9)^2 \approx 3,1605</math>.<ref name="ant" />

[[India]]st on leitud aastast 600 eKr pärinevaid viiteid, milles <math>\pi</math> väärtuseks hinnati 
<math>({9785 \over 5568})^2 \approx 3,088</math>.<ref name="4pVEc" /> 150 eKr Indiast pärit leidude põhjal võib öelda, et kasutatud on ka hinnangut <math> \sqrt{10} \approx 3,1622 </math>.<ref name="fiibF" />

===Hulknurga lähenduse ajastu===
Esimene teadaolev algoritm, mille põhjal <math>\pi</math> väärtusi arvutati, põhines geomeetrilisel lähenemisel, kasutades hulknurki. 
Algoritm seisnes selles ,et ringi sisse konstrueeritakse [[korrapärane hulknurk]], mille [[tipp|tipud]] toetuvad ringjoonele, ning ringjoonest välja konstrueeritakse korrapärane hulknurk, mille [[külg|küljed]] on ringjoone [[puutuja]]teks. Mida suurem on hulknurkade [[nurk]]ade arv, seda täpsemalt saab määrata ringjoone pikkuse ja sealt tulenevalt <math>\pi</math> väärtuse.<ref name="Ghx0K" />

Selle algoritmi mõtles 250 eKr välja kreeka matemaatik Archimedes ning too meetod valitses ilma eriliste alternatiivideta
üle 1000 aasta <math>\pi</math> arvutamise valdkonnas.<ref name="wCLdB" /> Hulknurga algoritmiga jõudsid matemaatikud 39 komakoha täpsuseni 1630. aastal.<ref name="1D9io" /> See rekord purustati alles 1699. aastal, kui lõpmatute jadade meetodit kasutades jõuti 71 komakoha täpsuseni.<ref name="rek" />

===Lõpmatute jadade ajastu===

India matemaatik Madhava (1350–1425) avastas esimesena võimaluse avaldada <math>\pi</math> kuitahes täpne väärtus lõpmatu jada kujul.
Kuna aga Euroopasse see avastus ei jõudnud, loetakse lõpmatute jadade abil <math>\pi</math> väärtuse avaldajaks [[Gottfried Wilhelm Leibnitz|G.W. Leibnitzit]] ja [[James Gregory|J. Gregoryt]].
Lõpmatute jadade uurimise areng 16. ja 17. sajandil põhjustas revolutsiooni <math>\pi</math> arvutamises. Lõpmatud [[jada]]d võimaldasid matemaatikutel arvutada <math>\pi</math>-d täpsemalt, kui seda olid teinud geomeetrilisi meetodeid kasutanud õpetlased.<ref name="KbbJE" /> 1699. aastal arvutas inglise matemaatik [[Abraham Sharp]] <math>\pi</math> väärtuse 71 komakoha täpsusega, kasutades [[Gregory–Leibnizi jada]].<ref name="rek" />
:<math>arctan(z)=z-{z^3 \over 3}+{z^5 \over 5}-{z^7 \over 7}+\ldots  </math>

See jada on võrdne <math>\pi</math>/4, kui arvutada selle väärtus kohal z = 1.<ref name="8Sjtp" />

==Motivatsioon π arvutamiseks==
Enamikus numbrilistes arvutustes, kus kasutatakse <math>\pi</math> väärtust, piisab vähestest komakohtadest, et tagada vajalik täpsus. [[Jörg Arndt]]i ja [[Christoph Haenel]]i järgi läheb enamikus kosmoloogilistes arvutustes vaja 39 komakohta, sest sellise hulga juures saab arvutada nähtava [[universum]]i [[ruumala]] ühe [[aatom]]i ruumala täpsusega.<ref name="Wv7Kq" /> Hoolimata sellest on inimesed näinud suurt vaeva, et arvutada [[tuhat|tuhandeid]] ja [[miljon]]eid <math>\pi</math> komakohti.<ref name="xiY5p" /> Seda püüet võib osaliselt seletada [[inimkond|inimkonna]] sooviga purustada rekordeid ja sellised saavutused jõuavad sageli [[uudis]]tesse üle maailma.<ref name="FoUJW" /><ref name="iSnaI" /> Samas leidub ka praktilisi põhjuseid. Näiteks hinnatakse sedasi superarvutite [[võimsus]]t ja numbrilise analüüsi algoritme (kaasa arvatud suure täpsusega korrutamise algoritmid) ning ka matemaatikas kasutatakse saadavat infot <math>\pi</math>-s esinevate numbrikombinatsioonide juhuslikkuse uurimiseks.<ref name="Qjf1t" />

== π arvuteoorias==
[[Arvuteooria]]s kohtab arvu <math>\pi</math> tihti. Järgnevalt on toodud mõned näited:
* [[Tõenäosus]], et juhuslikult valitud kahe [[täisarv]]u [[suurim ühistegur]] on üks, on <math>6/\pi^2</math>. (Tõenäosus on leitud kõigepealt hulga {1,2,3,...,''N''} jaoks ning mindud seejärel [[piirväärtus|piirile]], kus ''N'' läheneb lõpmatusele.)
* Tõenäosus, et juhuslikult valitud täisarv ei jagu mõne täisarvu ruuduga, on <math>6/\pi^2</math>,
* Positiivset täisarvu on võimalik kirjutada kahe täisarvu ruudu summana (järjekord on oluline) keskmiselt <math>\pi/4</math> erineval moel.
* Arvude (1&nbsp;&minus;&nbsp;1/''p''<sup>2</sup>) korrutis üle algarvude ''p'' on <math>6/\pi^2</math>.{{lisa viide}}

==Viited==
{{viited|allikad=
<ref name="19wUu">[http://www.physorg.com/news200209829.html "Japanese and US whizzes claim news record for pi calculation – five trillion decimal places"] physorg.com, 5. august 2010</ref>
<ref name="JwGaR">"Round 2... 10 Trillion Digits of Pi", NumberWorld.org, 17 Oct 2011. Retrieved 30 May 2012.</ref>
<ref name="Arndt">Arndt & Haenel 2006, lk 8</ref>
<ref name="NpFuK">Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis. McGraw-Hill. ISBN 0-07-054235-X., lk 183.</ref>
<ref name="xsoll">Arndt & Haenel 2006, lk 5</ref>
<ref name="tpLgW">Salikhov, V. (2008). "On the Irrationality Measure of pi". Russian Mathematical Survey 53 (3): 570. Bibcode:2008RuMaS..63..570S. doi:10.1070/RM2008v063n03ABEH004543.</ref>
<ref name="kY29I">Mayer, Steve. "The Transcendence of π". Retrieved 4 November 2007.</ref>
<ref name="POKsu">Posamentier & Lehmann 2004, lk 25</ref>
<ref name="are">Arndt & Haenel 2006, lk 22–23, Preuss, Paul (23 July 2001). "Are The Digits of Pi Random? Lab Researcher May Hold The Key". Lawrence Berkeley National Laboratory. Retrieved 10 November 2007.</ref>
<ref name="ctHTK">Arndt & Haenel 2006, lk 22, 28–30</ref>
<ref name="IC0Ce">Eymard & Lafon 1999, lk 78</ref>
<ref name="wGgyX">Arndt & Haenel 2006, lk 240</ref>
<ref name="kg0Ts">Arndt & Haenel 2006, lk 242</ref>
<ref name="ant">Arndt & Haenel 2006, lk 167</ref>
<ref name="4pVEc">Arndt & Haenel 2006, lk 168–169</ref>
<ref name="fiibF">Arndt & Haenel 2006, lk 169</ref>
<ref name="Ghx0K">"The Computation of Pi by Archimedes: The Computation of Pi by Archimedes – File Exchange – MATLAB Central". Mathworks.com. Retrieved 2013-03-12.</ref>
<ref name="wCLdB">Arndt & Haenel 2006, lk 170</ref>
<ref name="rek">Arndt & Haenel 2006, lk 15–16, 175, 184–186, 205. Grienberger achieved 39 digits in 1630; Sharp 71 digits in 1699.</ref>
<ref name="1D9io">Grienbergerus, Christophorus (1630). Elementa Trigonometrica (PDF) (in Latin). His evaluation was 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 4196 < π < 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 4199.</ref>
<ref name="KbbJE">Arndt & Haenel 2006, lk 185–191</ref>
<ref name="8Sjtp">Eymard & Lafon 1999, lk 53–54</ref>
<ref name="Wv7Kq">Arndt & Haenel 2006, lk 17. "39 digits of π are sufficient to calculate the volume of the universe to the nearest atom." Accounting for additional digits needed to compensate for computational round-off errors, Arndt concludes that a few</ref>
<ref name="xiY5p">Arndt & Haenel 2006, lk 17–19</ref>
<ref name="FoUJW">Schudel, Matt (25 March 2009). "John W. Wrench, Jr.: Mathematician Had a Taste for Pi". The Washington Post. lk B5.</ref>
<ref name="iSnaI">"The Big Question: How close have we come to knowing the precise value of pi?". The Independent. 8 January 2010. Retrieved 14 April 2012.</ref>
<ref name="Qjf1t">Arndt & Haenel 2006, lk 18</ref>
}}

==Kirjandus==
*Arndt, Jörg; Haenel, Christoph (2006). Pi Unleashed. Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-66572-4. Kasutatud 2013-06-05. ingliskeelne tõlge Catriona ja David Lischka.
*Posamentier, Alfred S.; Lehmann, Ingmar (2004). Pi: A Biography of the World's Most Mysterious Number. Prometheus Books. ISBN 978-1-59102-200-8.
*Eymard, Pierre; Lafon, Jean Pierre (1999). The Number Pi. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-3246-2., ingliskeelne tõlge Stephen Wilson.

== Välislingid ==
{{commonskat|Pi}}
{{vikitsitaadid}}
*[http://mathworld.wolfram.com/Pi.html Wolfram MathWorld, Pi] (''inglise keeles'')
*[https://www.angio.net/pi/digits/pi1000000.txt Esimesed 1 000 000 pii komakohta]
*[http://www.youtube.com/watch?v=_35t1eWmJTs] (BBC dokumentaalfilm (''inglise keeles''), vt 32:00–36:30)

[[Kategooria:Konstandid]]
[[Kategooria:Arvud]]