Sümmeetriline vahe

Mall:ToimetaAeg Hulgateoorias nimetatakse hulkade A ja B sümmeetriliseks vaheks hulka $A\mathrm{\Delta }B$, kuhu kuuluvad kõik hulkade A ja B elemendid, mis ei kuulu korraga hulkadesse A ja B.

Definitsioon

$A\mathrm{\Delta }B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A),$

kus \ tähistab hulkade vahet ja ∪ hulkade ühendit.

Näited

Näiteks hulkade {1, 2, 3, 4, 5} ja {4, 5, 6, 7} sümmeetriline vahe on {1, 2, 3, 6, 7}.

Omadused

Hulkade sümmeetrilise vahe leidmisel on järgmised omadused:

• Seos vahe, ühendi ja ühisosaga.

$A\mathrm{\Delta }B=(A\cup B)\setminus (A\cap B),$,

• Kommutatiivsus

$A\mathrm{\Delta }B=B\mathrm{\Delta }A,$,

• Assotsiatiivsus

$(A\mathrm{\Delta }B)\mathrm{\Delta }C=A\mathrm{\Delta }(B\mathrm{\Delta }C),$,

• Seos tühihulgaga

$A\mathrm{\Delta }\varnothing =A,$,

$A\mathrm{\Delta }A=\varnothing ,$,

• Distributiivsus hulkade ühisosaga

$A\cap (B\mathrm{\Delta }C)=(A\cap B)\mathrm{\Delta }(A\cap C).$,