Fibonacci jada

Fibonacci jada on arvude jada, mille kaks esimest liiget on vastavalt F₁=0 ja F₂=1 ning iga järgnev liige on kahe eelneva liikme summa. Jada esimesed liikmed on

$0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,\dots .$

(esimesed 500 elementi on loetletud siin).

Fibonacci jada {F_n} defineeritakse rekurrentse seosega

$F_n=F_{n-1}+F_{n-2},$

mis lahendatakse algtingimustel

$F_0=0,F_1=1.$

Ajalugu

Teadaolevalt esinevad Fibonacci arvud esmakordselt mātrāmeru nime all Pingala sanskritikeelses käsikirjas Chandaḥśāstra ('Prosoodiakunst'; 450 eKr või 200 eKr).

Aastal 1202 tutvustas seda jada läänemaailmale itaalia matemaatik Leonardo FibonacciMall:Lisa viide.

Pealiige

Fibonacci arvud on tihedalt seotud kuldlõikega: kui valida piisavalt suur Fibonacci arv, siis on sellele eelnev Fibonacci arv sellest alati ligikaudu kuldlõike suhtarvu pöördväärtus $1/\phi \approx 0,618$ korda väiksem ning järgnev arv on sellest $\phi \approx 1,618$ korda suurem.

Viimast väljendab asjaolu, et Fibonacci jada esitub kujul

$F_n=\frac{{\phi }^n-(-\phi {)}^{-n}}{\sqrt{5}}=\frac{{\phi }^n-(1-\phi {)}^n}{\sqrt{5}},$

kus $\phi$ on kuldlõike suhtarv. See valem saadakse eeltoodud rekurrentse seose $F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$ lahendamisel algtingimustel $F_0=0$, $F_1=1$.

Loodus

Fibonacci jada võib kohata ka looduses. Näiteks taimede ehituses: et lehed ühtlaselt päikest saaksid, on need paigutunud korrapäraselt. Näiteks kahe kohakuti lehe vahel on tihti Fibonacci arvMall:Lisa viide lehti. Sama on täheldatud ka käbi kihtide puhulMall:Lisa viide.

Lucas' jada

Mall:Vaata ka Lucas' jada liikmed defineeritakse samuti rekursiivselt kahe eelneva liikme summana, kuid selle esimesed liikmed erinevad Fibonacci jada omadest, mistõttu on Lucas' jada Fibonacci jadast erinev. Selle esimesed liikmed on:

$2,1,3,4,7,11,18,29,\dots .$

Vaata ka

• Faktoriaal