Difeomorfism

Difeomorfism on bijektiivne pidevalt diferentseeruv kujutus, mille pöördkujutus on samuti pidevalt diferentseeruv.

Selle kujutus määramis- ja muutumispiirkonnad võivad olla vektorruumi ${ℝ}^n$ lahtised hulgad või üldisemalt diferentseeruvad muutkonnad. Vastavalt diferentseeruvusklassile räägitakse $C^k$-difeomorfismidest ($k\in \{1,2,\dots ,\mathrm{\infty },\omega \}$).

Joonis kujutab ruudu difeomorfismi iseendaks

Definitsioon

Vektorruum

Kujutust vektorruumi ${ℝ}^n$ ühest lahtisest alamhulgast teise $f:U\to V$ nimetatakse difeomorfismiks,

• $f$ on bijektiivne
• $f$ on kõikjal pidevalt diferentseeruv
• pöördkujutus $f^{-1}$ on kõikjal pidevalt diferentseeruv

Kui $f$ ja $f^{-1}$ on $k$ korda pidevalt diferentseeruvad (ehk klassist $C^k$“, $k=1,2,3,\dots$), siis nimetatakse kujutust $f$ $C^k$-difeomorfismiks. Kui $f$ ja $f^{-1}$ on mis tahes arv kordi diferentseeruvad (ehk klassist $C^{\mathrm{\infty }}$), siis nimetatakse kujutust $f$ $C^{\mathrm{\infty }}$-difeomorfismiks. Kui $f$ ja $f^{-1}$ on mõlemad analüütilised (ehk klassist $C^{\omega }$), siis nimetatakse kujutust $f$ $C^{\omega }$-difeomorfismiks.

Kujutust $f:U\to V$ lahtiste alamhulkade vahel $U,V\subset {ℝ}^n$ nimetatakse lokaalseks difeomorfismiks, kui igal punktil $p\in U$ on niisugune lahtine ümbrus $W\subset U,$ et selle kujutis $f(W)\subset V$ on lahtine ning kujutuse $f$ ahend $f{|}_W:W\to f(W)$ hulgale $W$ on difeomorfism.