Hilberti teoreem nullkohtadest

Hilberti teoreem nullkohtadest ehk Hilberti teoreem juurtest on teoreem, mis seob algebralise hulga mõiste ideaaliga polünoomide ringis üle algebraliselt kinnise korpuse. See teoreem on algebralise geomeetria alus.

Teoreemi tõestas esimest korda David Hilbert (Mathematische Annalen, 1893, kd 42, lk 313—373) ja see on nimetatud tema auks.

Sõnastus

Olgu $k$ mis tahes korpus (näiteks ratsionaalarvude korpus) ja olgu $K$ selle korpuse algebraliselt kinnine laiend (näiteks kompleksarvude korpus). Vaatleme ringi $K[x_1,\dots ,x_n]$ – n muutuja polünoomide ringi kordajatega korpuses $K$, olgu $I$ ideaal selles ringis. Algebraline hulk $\text{V}(I)$, mille see ideaal määrab, koosneb kõigist niisugustest punktidest $x=(x_1,\dots ,x_n)\in K^n$ et $f(x)=0$ mis tahes $f\in I$ korral. Hilberti teoreem nullkohtadest väidab, et kui mingi polünoom $p\in k[x_1,\dots ,x_n]$ nullistub hulgal $\text{V}(I)$, st kui $p(x)=0$ kõigi $x\in V(I)$ korral, siis leidub niisugune naturaalarv $r$, et $p^r\in I$.

Vahetult järeldub teoreemi "nõrk kuju": kui $I$ on pärisideaal ringis $K[x_1,\dots ,x_n]$, siis $\text{V}(I)$ ei saa olla tühi hulk, st on olemas nullkoht antud ideaali kõigi polünoomide jaoks (tõepoolest, vastasel juhtumil on polünoomil $p(x)=1$ juured kõikjal hulgas $\text{V}(I)$, järelikult tema aste kuulub ideaali $I$). See asjaolu ongi teoreemile nime andnud. Üldise juhtumi võib nõrgast kujust tuletada nn Rabinowitschi triki abil.

Eeldus, et korpus $K$ on algebraliselt kinnine, on oluline: pärisideaali $(x^2+1)$ elementidel üle korpuse $ℝ[x]$ ei ole ühist nullkohta.

Kommutatiivse algebra standardses teoorias võib Hilberti teoreemi nullkohtadest sõnastada nii: iga ideaali $J$ korral kehtib valem

$\text{I}(\text{V}(J))=\sqrt{J}$

kus $\sqrt{J}$ on ideaali $J$ radikaal ja $\text{I}(U)$ on ideaal, mis koosneb kõigist polünoomidest, mis hulgal $U$ võrduvad nulliga.

Sellest järeldub, et tehted $\text{I}$ ja $\text{V}$ annavad bijektiivse, järjestust pöörava vastavuse algebraliste hulkade hulgas $K^n$ ja radikaalsete ideaalide vahel ringis $K[x_1,\dots ,x_n]$.