Lõplikult moodustatud Abeli rühm

Lõplikult moodustatud Abeli rühm on Abeli rühm $(G,+)$, mis on lõplikult moodustatud rühm.

Lõplkult moodustatud Abeli rühmade fundamentaalteoreem annab nende rühmade täieliku klassifikatsiooni.

Näiteid ja vastunäiteid

• Kõik lõplikud rühmad on lõplikult moodustatud. Selle pärast on ka lõplikud Abeli rühmad lõplikult moodustatud.
• Täisarvude rühm $(\mathbb{Z},+)$ on lõplikult moodustatud lõpmatu Abeli rühm. Selle moodustaja on 1.
• Lõpliku arvu lõplikult moodustatud rühmade otsesumma on lõplikult moodustatud Abeli rühm.
• Ratsionaalarvude rühm $(\mathbb{Q},+)$ ei ole lõplikult moodustatud. Tõepoolest, oletame, et ratsionaalarvud $x_1,\dots ,x_s$ on rühma moodustajad. Sel juhul saab valida naturaalarvu $w$, mis on kõigi arvude $x_i$ nimetajatega vastastikku lihtne. Siis ei saa arvu $\frac{1}{w}$ esitada arvude $x_1,\dots ,x_s$ täisarvulise lineaarkombinatsioonina.

Klassifikatsioon

Lõplikult moodustatud Abeli rühma iga alamrühm ja iga faktorrühm on lõplikult moodustatud Abeli rühm. Lõplikult moodustatud Abeli rühmad koos rühmade homomorfismidega moodustavad Abeli kategooria.

Lõpliku astakuga Abeli rühm ei pruugi olla lõplikult moodustatud. Näiteks ratsionaalarvude rühma $\mathbb{Q}$ astak on 1, kuid see rühm ei ole lõplikult moodustatud. Teine näide on jäägiklassirühma $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ lõpmata paljude eksemplaride otsesumma, mille astak on 0, mis aga ei ole lõplikult moodustatud.

Lõplikult moodustatud Abeli rühmade fundamentaalteoreem ütleb, et iga lõplikult moodustatud Abeli rühm $G$ on isomorfne otsesummaga tsüklilistest rühmadest, mille järk on algarvu aste, ja lõpmatutest tsüklilistest rühmadest.