Lehekülje Splain lähteteksti vaatamine

[[Fail:Parametic_Cubic_Spline.svg|pisi|400x400px|Üksikud sõlmed 1/3 ja 2/3 juures loovad kolm kuuppolünoom-splaini pidevusega C<sup>2</sup>. Kolmekordne sõlm intervalli mõlemas otsas tagab, et kõver interpoleerib lõpp-punkte]]
'''Splain''' on sile, ühesuguse struktuuriga tükiti [[Polünoom|polünomiaalne]] [[Funktsioon (matemaatika)|funktsioon]], mis liitepunktides rahuldab teatud sileduse tingimusi. [[Interpoleerimine|Interpolatsiooni]]probleemides eelistatakse tihtipeale splain-interpolatsiooni polünomiaalsele interpolatsioonile, kuna see annab sarnaseid tulemusi, isegi kui kasutada madala astme polünoome.<ref name=":0" />

Mõiste "splain" pärineb painduvatest spiraalsetest seadmetest, mida [[laevaehitaja]]d ja[[joonestaja]]d kasutavad siledate [[kujund]]ite saamiseks.<ref name="0Zxms" />

== Sissejuhatus ==
Mõistet "splain" kasutatakse viitamiseks laiale funktsioonide klassile, mis tegeleb andmete interpoleerimise ja/või silumisega. Andmed võivad olla kas ühe- või mitmemõõtmelised. Splainidega lähendamine on tükiti interpoleerimine ühe ja sama astme polünoomiga.<ref name=":0" />

Splain-funktsioonid on olemuselt piiratud mõõtmed, mis on peamine põhjus nende kasulikkuseks arvutustes ja esitustes. Ülejäänud artiklis on keskendutud täielikult ühemõõtmelistele, polünoomsetele splainidele ja kasutatud terminit "splain" selles piiratud tähenduses.

== Definitsioon ==
Lihtsaim splain on tükiti polünomiaalne [[Funktsioon (matemaatika)|funktsioon]], kus igal polünoomil on üks muutuja. Splain <math>S</math> võtab väärtused vahemikust <math>\left [ a,b \right ]</math> ja määrab need <math>\R</math> [[reaalarv]]ude hulka:

<math>S\colon [a,b]\rightarrow \R.</math>

Kuna <math>S</math> on tükiti määratletud, valime <math>k</math> lõiku vahemikus <math>\left [ a,b \right ]</math>: 
: <math>[t_i, t_{i+1}], i=0,...,k-1
</math>
: <math>[a,b]=[t_0,t_1]\cup [t_1,t_2]\cup ...\cup [t_{k-1},t_{k-1}]\cup [t_{k-1},t_k]</math>
: <math>a=t_0\le t_1\le ...\le t_{k-1}\le t_k=b</math>
Kõik need lõigud on seotud polünoomiga <math>P_i</math>,
: <math>P_i\colon [t_i,t_{i+1}]\rightarrow \R</math>.
<math>i</math>''-''ndas lõigus vahemikus <math>\left [ a,b \right ]</math> on <math>S</math> määratletud <math>P_i</math> abil,
: <math>S(t)=P_0(t), t_0\le t\le t_1,
</math>
: <math>S(t)=P_1(t), t_1\le t\le t_2,</math>
: <math>...</math>
: <math>S(t)=P_{k-1}(t), t_{k-1} \le t\le t_k.</math>

Antud <math>k+1</math> punkti <math>t_j(0\le j\le k)</math> nimetatakse '''sõlmedeks'''. Vektorit <math display="inline">t=(t_0,...,t_k)</math> nimetatakse splaini '''sõlme vektoriks'''.
Kui sõlmed on ühtlaselt jaotatud vahemikus <math>\left [ a,b \right ]</math> siis splaini nimetatakse '''ühtlaseks''', vastasel juhul nimetatakse splaini '''ebaühtlaseks'''.<ref name="o4F55" />

Kui <math>k</math>''-''nda polünoomi tükkidel <math>P_i</math> on iga aste vähemalt <math>n</math>, siis splain on''' astmega''' <math>\le n</math> (või <math>\le n+1</math>).

Kui <math>1\le i\le k-1\colon S\in C^{\tau_i}</math> kehtib <math>k-1</math> punkti <math>t_i</math><sub>'' ''</sub>naabruses, siis on splain sile (vähemalt) <math>C^{\tau_i}</math> kohal <math>t_i</math>. See tähendab, et kohal <math>t_i</math> jagavad <math>P_{i-1}</math> ja <math>P_i</math> ühist tuletisväärtust astmest <math>0</math> (funktsiooni väärtusest) kuni astmeni <math>r_i</math> (teisisõnu, kahe kõrvuti asetseva polünoomi tükki ühendavad kõige rohkem <math>n-r_i</math> sileduse kaotust).

Vektorit <math>r=(r_1,...,r_{k-1})</math> kus splainil on siledus <math>C^{\tau_i}</math> kohal  <math>t_i, i=1,...,k-1</math> nimetatakse splaini '''sileduse vektoriks'''.<ref name=":0" />
== Näited ==
Oletame, et intervall <math>[a,b]</math> on <math>[0,3]</math> ja alamintervallid on<math>[0,1],[1,2],[2,3]</math>. Oletame, et polünoomi tükid peavad olema astmega <math>2</math> ja tükid vahemikus <math>[0,1]</math> ja <math>[1,2]</math> peavad ühinema väärtuse ja esimese tuletisega (<math>t=1</math> korral) samal ajal kui tükid vahemikus <math>[1,2]</math> ja <math>[2,3]</math> ühinevad lihtsalt väärtusega (<math>t=2</math> korral). See määrab splaini <math>S(t)</math> tüübi, mille kohaselt

: <math>S(t) = P_0 (t) = -1+4t-t^2 \mbox{ , } 0 \le t < 1</math>
: <math>S(t) = P_1 (t) = 2t \mbox{ , } 1 \le t < 2</math>
: <math>S(t) = P_2 (t) = 2-t+t^2 \mbox{ , } 2 \le t \le 3</math>
oleks selle tüübi liige ja ka
: <math>S(t) = P_0 (t) = -2-2t^2 \mbox{ , } 0 \le t < 1</math>
: <math>S(t) = P_1 (t) = 1-6t+t^2 \mbox{ , } 1 \le t < 2</math>
: <math>S(t) = P_2 (t) = -1+t-2t^2 \mbox{ , } 2 \le t \le 3</math>

oleks selle tüübi liige. (Märkus: kuigi polünoomi tükk <math>2t</math> ei ole ruutpolünoom, siis tulemust kutsutakse ikka ruutsplainiks. See näitab, et splaini astmeks on polünoom-osade maksimaalne aste.) Sellist tüüpi splaini pikendatud sõlme vektor oleks <math>(0,1,2,2,3)</math>.

Kõige lihtsam splain on astmega <math>0</math>. Seda nimetatakse ka [[Astmeline funktsioon|astmeliseks funktsiooniks]]. Järgmine kõige lihtsam splain on astmega <math>1</math>. Seda kutsutakse ka '''lineaarsplainiks'''.<ref name="iFS2c" /> Kinnine lineaarsplain (st esimene ja viimane sõlm langevad kokku) on lihtsalt [[hulknurk]].

Tavaline splain on naturaalne <math>3</math>. astme '''kuupsplain'''.<ref name="zJ2PX" /> Sõna "naturaalne" tähendab, et splaini polünoomi teine tuletis on interpoleerimise intervalli lõpp-punktides võrdne nulliga:
: <math>S''(a) \, = S''(b) = 0.</math>

=== Algoritm kuupsplainide arvutamiseks ===
Kuupsplainid on kujul <math>{S}_{j} \left ( x  \right ) =  a_j + b_j \left ( x-x_j \right ) +  c_j  {\left ( x-x_j \right ) }^{2} + d_j {\left ( x-x_j \right ) }^{3}</math>.
Arvestades koordinaatide komplekti<math>C=  \left[    \left ( {x}_{0},{y}_{0}  \right ) ,  \left ( {x}_{1},{y}_{1}   \right ) , .... ,  \left ( {x}_{n},{y}_{n}  \right ) \right ]</math> soovime leida hulga <math>n \,</math> splainiga <math>{S}_{i} \left ( x  \right )</math>   <math>i = 0 , \ldots , n-1.</math>

Need peavad rahuldama:
* <math> S_i \left (x_i \right) = y_i = S_{i-1}\left (x_i \right ), i = 1 , \ldots , n-1.</math>
* <math>{S^'}_i \left (x_i \right) = {S^'}_{i-1}\left (x_i \right ), i = 1 , \ldots , n-1.</math>
* <math>{S^{''}}_i \left (x_i \right) = {S^{''}}_{i-1}\left (x_i \right ), i = 1 , \ldots , n-1.</math>
* <math>{S^{''}}_0 \left (x_0 \right) = {S^{''}}_{n-1} \left (x_n \right ) =0</math>.
Defineerime ühe kuupsplaini <math>S \,</math> 5-[[ennik]]una <math>(a,b,c,d,x_t) \,</math> kus <math>a,b,c \,</math> ja <math>d \,</math> vastavad varem näidatud kujule ja <math>x_t \,</math> on võrdne parameetriga <math>x_j. \,</math>

'''Algoritm kuupsplaini arvutamiseks:'''
Sisend: koordinaatide hulk <math>C \,</math>, kus <math>\left | C  \right | =n+1</math>
Väljund: splainide hulk, mis koosneb <math>n</math>-ist 5-[[ennik]]ust. 
# Loo uus [[massiiv (programmeerimine)|massiiv]] <math>a</math> suurusega <math>n+1</math> ja iga <math>i = 0 , \ldots , n</math> korral seadista <math>a_i = y_i \,</math>
# Loo uued massiivid <math>b</math> ja <math>d</math> mõlemad suurusega <math>n</math>.
# Loo uus massiiv <math>h</math> suurusega <math>n</math> ja iga <math>i = 0 , \ldots , n-1</math> seadista <math>h_i = x_{i+1} - x_i \,</math>
# Loo uus massiiv <math>\alpha</math>suurusega <math>n</math> ja iga <math>i = 0 , \ldots , n-1</math> seadista <math>{ \alpha }_{i}= \frac{3 }{{h}_{i} }  \left (  {a}_{i+1}-{a}_{i} \right )  -  \frac{3 }{{h}_{i-1} }  \left (  {a}_{i}-{a}_{i-1} \right ) </math>.
# Loo uued massiivid <math>nc,l,\mu</math> ja <math>z</math> kõik suurusega <math>n+1 \,</math>.
# Seadista <math> l_0 = 1, {\mu}_0 = z_0 = 0 \,</math>
# Iga <math> i = 1 , \ldots , n-1 \,</math>
## <math>{ l}_{i } =2 \left ( {x}_{i+1}-{x}_{i-1}  \right ) - {h}_{i-1}{\mu}_{i-1}</math>.
## <math>{\mu}_{i}= \frac{ {h}_{i}}{{l}_{i} } </math>.
## <math>{z}_{i} =  \frac{ {\alpha}_{i}-{h}_{i-1}{z}_{i-1}}{{l}_{i} } </math>.
# Seadista <math> l_n = 1; z_n = c_n = 0. \,</math>
# <math> j = n-1 , n-2 , \ldots , 0 </math>
## <math> c_j = z_j - {\mu}_j c_{j+1} \,</math>
## <math> b_j = \frac{{a}_{j+1}-{a}_{j} }{{h}_{j} } -  \frac{ {h}_{j} \left ( {c}_{j+1} +2{c}_{j}  \right ) }{ 3} </math>
## <math> d_j = \frac{{c}_{j+1}-{c}_{j} }{3{h}_{j} } </math>
# Loo uus splainide komplekt ja nimeta see valjund_komplekt. Paiguta sinna <math>n</math> splaini <math>S</math>.
# Iga <math>i = 0 , \ldots , n-1</math>
## <math>S_{i,a}=a_i</math>
## <math>S_{i,b}=b_i</math>
## <math>S_{i,c}=c_i</math>
## <math>S_{i,d}=d_i</math>
## <math>S_{i,x}=x_i</math>
# Väljund valjund_komplekt

== Viited ==
{{viited|allikad=
<ref name=":0">{{Cite journal|last=Schoenberg|first=Isaac J.|url=http://www.ams.org/journals/qam/1946-04-01/S0033-569X-1946-15914-5/S0033-569X-1946-15914-5.pdf|title=Contributions to the Problem of Approximation of Equidistant Data by Analytic Functions: Part A.—On the Problem of Smoothing or Graduation. A First Class of Analytic Approximation Formulae|journal=Quarterly of Applied Mathematics|volume=4|issue=2|pages=45—99|year=1946}}</ref>
<ref name="0Zxms">{{Cite journal|last=Wegman, Edward J., and Ian W. Wright|url=https://www.jstor.org/stable/2288640|title=Splines in statistics|journal=Journal of the American Statistical Association|volume=78|issue=382|pages=351-365|year=1983}}</ref>
<ref name="o4F55">{{Netiviide|Autor=Marek Kolk|URL=http://kodu.ut.ee/~mkolk243/2011/DifInt/loeng14/DIVNL-14.pdf|Pealkiri=Splain-Kollokatsioonimeetod|Väljaanne=Tartu Ülikool|Aeg=2012|Kasutatud=}}</ref>
<ref name="iFS2c">{{Netiviide|Autor=Tõnu Tõnso|URL=http://www.tlu.ee/~tonu/Arvmeet/Splkonsp.pdf|Pealkiri=Splainid|Väljaanne=Tallinna Ülikool|Aeg=|Kasutatud=}}</ref>
<ref name="zJ2PX">{{Netiviide|Autor=Helle Trossmann|URL=http://kodu.ut.ee/~ingel/st.pdf|Pealkiri=Ruut- ja kuupsplainidega interpoleerimine|Väljaanne=Tartu Ülikool|Aeg=2004|Kasutatud=|arhiivimisaeg=2018-04-18|arhiivimisurl=https://web.archive.org/web/20180418162025/http://kodu.ut.ee/~ingel/st.pdf|url-olek=ei tööta}}</ref>
}}

== Välislingid ==
'''Teooria'''
* [http://math.fullerton.edu/mathews/n2003/CubicSplinesMod.html Kuuplsplain moodul] Prof. John H. Mathews California State University, Fullerton
* [http://ibiblio.org/e-notes/Splines/Intro.htm Interaktiivne sissejuhatus splainidesse], ibiblio.org
'''Exceli funktsioon'''
* [http://www.pimpmyexcel.com/ XLL Excel Addin Funktsioon kuupsplaini rakendamiseks]
'''Võrguteenuste pakkujad'''
* [http://www.akiti.ca/CubicSpline.html Online kuupsplain-interpolatsiooni keskkond]
* [http://www.vias.org/simulations/simusoft_spline.html Õppimine simulatsioonide abil] Erinevate kuupsplainide interaktiivne simulatsioon
* [http://demonstrations.wolfram.com/SymmetricalSplineCurves/ Sümmeetrilised splaini kõverad], Theodore Gray animatsioon, The Wolfram Demonstrations Project, 2007.
* [https://richardfuhr.neocities.org/BusyBCurves.html Bezieri ja Splaini Kõverate uurimine], interaktiivne veebirakendus
'''Arvutikood'''
* [http://numericalmethods.eng.usf.edu/topics/spline_method.html Notes, PPT, Mathcad, Maple, Mathematica, Matlab], ''Holistic Numerical Methods Institute''
* [http://w3.pppl.gov/ntcc/PSPLINE/ mitmesugused rutiinid], NTCC
* [http://www.sintef.no/sisl Sisl: Opensource C-library for NURBS], SINTEF
* [http://www.vbnumericalmethods.com/math/ VBA splain-interpolatsioon], vbnumericalmethods.com

[[Kategooria:Viideteta väidetega artiklid]]